SULLE RELAZIONI FRA LE TRAIETTORIE, LE BRACHISTOCRONE E LE FUNICOLARI 43 



Per le traiettorie e brachistocrone 



in-\-\ //i+l m+1 



e per le funicolari 



w + l ' '" ~~ m+l ' m+1 



T = - ^^ H- A' =. _ "A -+- i^ + To 



Se si può scegliere y» v^ oppure y^ To in modo che le costanti h li' delle 

 forze vive 



vadano a zero, si ha 

 per le traiettorie 



A = y„^ - 

 /t' = T„ + ^ 



w '="'?' 



per le brachistocrone egualmente 

 e per le funicolari 



w '=^ 



(9y — = w-f-i. 



p 



Dando in questo caso all'asse OX il nome di direttrice, si può enunciare 

 il teorema : 



Jl rapporto fra il raggio di curvatura e la porzione di normale inter- 

 cettata fra la curva e la direttrice è costante per ogni punto della curva. 

 Questo rapporto è anche indipendente dal coefficiente a. 

 Se w:=0, si può sempre soddisfalle alla condizione enunciata, e si ritro- 

 van le relazioni 

 per la parabola 



P = 2N 

 per la cicloide 



P = 2N 

 per la catenai'ia 



P = N. 



N 

 Queste relazioni danno i valori assoluti di -. ; ma la posizione relativa 



N 

 della curva e della sua direttrice ci mostra facilmente che considerando -^ 



P 



come positivo quando N è contato dalla curva verso il centro di curvatura 

 è per la parabola 



