44 SULLE RELAZIONI FRA LE TRAIETTORIE, LE BRACHISTOCRONE E LE FUNICOLARI 



(10)" p = — 2N 

 per la cicloide 



(10)" p = H- 2N 

 per la catenaria 



(10)^ p = - N. 



Anzi nel caso di m = 0, siccome collo spostarsi dell'asse OX Y non can- 

 gia, si vede che qualunque sieno y» v^, o y^ To, si potrà sempre traspor- 

 tare r asse OX parallelamente a sé stesso in modo che la costante delle 

 forze vive si riduce a zero; la parabola, la cicloide e la catenaria ammet- 

 ton sempre una direttrice e il teorema sul rapporto costante fra N e o ha 

 luogo per qualunque curva appartenente a questa famiglia. 



Ma potrà accadere che la condizione /i = non possa venir soddisfatta; 

 e in generale quando è soddisfatta, essa introdurrà una relazione fra i pa- 



N 

 rametri della curva considerata, talché il rapporto — non sarà costante per 



tutte le curve corrispondenti a Y := a?/"', ma soltanto per una classe par- 

 ticolare di queste curve. Così ad es. se ?n = l, l'equazione della traietto- 

 ria (supponendo che l'asse OY passi per il punto più basso della curva) ò 



per cui non ha luogo in generale la relazione h = : perchè questa abbia 

 luogo, fra i parametri e e n deve sussister la relazione 



e = w 



la curva viene allora a contenere un solo parametro variabile invece di due, 

 e prende la forma della catenaria ordinaria 



N 

 per cui r asse OX è una direttrice , e il rapporto — ha il valore costan- 

 te— 1. ^ ' 



Perchè l'equazione /i = possa esser soddisfatta per le traiettorie e bra- 

 chistocrone deve essere 



m -M 



Non si avrà soluzione quando m -f- 1 è pari e di segno contrario con a, 

 come è p. es. il caso per la traiettoria (ellittica) di un punto sollecitato 



dalla forza Y =x — . Perché sia possibile la condizione h' = per le fu- 



nicolari, deve aver luogo una relazione di segni inversa alla precedente. 

 Nelle brachistocrone possiamo anche supporre t5o = 0; la condizione h = Q 

 dà allora 



