SUI.r.E RELAZIONI FRA. LE TRAIETTORIE, LE BRACHISTOCRONE B LE FUNICOLARI 47 







Abbassando da P una perpendicolare PE sulla OM abbiamo 



OM : UG :: OE : ÓM 



Se consideriamo la curva A come immobile e riferita a un sistema di 

 coordinate polari, di cui sia il polo, OM è il raggio vettore r della curva 

 A, e nello stesso tempo la porzione N di normale della rulletta (a) inter- 

 cettata fra il punto di questa rulletta e la direttrice. Possiamo dunque 

 enunciare il teorema : 



Il y^apporto .fra la normale contata fino alla direttrice e il raggio di 

 curvatura della rulletta descritta da O è eguale al rapporto dei segmenti 

 determinati dal polo O nella proiezione del raggio di curvatura corri- 

 spondente della curva A fatta sul raggio vettore. 



Chiamando k il rapporto di questi segmenti 



p 



Si intenderà k positivo, quando OE OM hanno lo stesso senso, cioè quando 



N 

 E cade fra e M, e negativo nel caso contrario : il segno di — verrà al- 

 lora positivo, quando N e /> hanno lo stesso senso. 



Quando k è costante , si ha subito una proprietà della rulletta (a) , che 

 le può servire di definizione. Se p. es. A è una circonferenza e un punto 

 della sua periferia, k è costante = '/* : se A è una parabola, e ne è il 

 fuoco, per una nota proprietà della parabola, k è costante = — 1; se A è 

 una spirale logaritmica, e il suo polo , la proiezione del centro di cur- 

 vatura sul raggio vettore è precisamente il polo, quindi Ar è costante = 0, 



