48 SULLE RELAZIONI FRA. LE TRAIETTORIE, LE BRACHISTOCRONE E LE FUNICOLARI 



Facendo rotolare sulla retta direttrice B una curva A , che goda della 

 proprietà di avere il rapporto k costante, si otterranno quindi delle curve, 

 che potranno considerarsi come traiettorie , brachistocrone e funicolari di 

 un punto sollecitato da forze perpendicolari alla direttrice, e proporzionali 

 alla wi« potenza della distanza alla direttrice ; i valori assoluti di m e K 



son legati dalla relazione 



m+l 



2 



se si tratta di traiettorie e brachistocrone, e da quella 



m -\~ l = k 



se si tratta di funicolari. Queste curve soddisferanno inoltre alla condizione 

 che la costante delle forze vive vada a zero. 



Potremo dunque dire : 



La brachistocrona di un punto pesante (cicloide) è la curva descritta da 

 un punto della periferia di una circonferenza, che rotola su una retta. 



La linea d'equilibrio di un filo pesante (catenaria) è la curva descritta 

 dal fuoco di una parabola, che rotola su una retta. 



Se la curva A è una spirale logaritmica, abbiamo visto che /e = cioè 

 p= 00 : si ritrova così la nota proposizione. 



Quando una spirale logaritmica rotola su una retta, il suo polo descrive 

 una retta. 



§9. 



Si può assegnare un'equazione comune alle curve A, per cui il rapporto 

 k è costante, ed eseguire una prima integrazione. Sia ^ l'angolo compreso 

 fra la tangente alla curva A nel punto M o il raggio vettore MO, e ;? la 

 perpendicolare abbassata da sulla tangente : avremo 



r — p sen f = kr 

 e siccome 



p dr 



sen9 = — P = ^-a^ 



(1 _ /e) i^ = ^ 



integrando 



p *-'' = Cr. 



L'equazione della rulletta («) si determina pure senza difficoltà. Riferia- 

 moci a un sistema di assi ortogonali OX OY, di cui OX coincide colla di- 

 rettrice : avendosi allora 



