UN' OSSERVAZIONE 



INTORNO AI MASSIMI E MINIMI 



DI UNA FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE 



NOTA DEL PROF. CESARE ARZELA 



1. Sia y una funzione reale di una variabile reale x data nell'intervallo 

 da a) a 6). Secondo il concetto di Dirichlet s' intende che ad ogni valore 

 reale di x nell'intervallo considerato corrisponde un unico e determinato 

 valore di y. 



Suppongasi che la y sia funzione continua e che in nessun tratto , an- 

 che piccolissimo, si mantenga costante. 



Sia M il massimo assoluto dei valori di y, m, il minimo assoluto nello 

 intervallo (a, 6); (1) M ed m, come pure a e b, siano finiti. 



Se si considera y variabile indipendente nell'intervallo [m, M), la a; non 

 avrà, in generale , un unico valore , compreso tra a) e 6), corrispondente 

 ad ogni valore di y. 



Se ad ogni valore di y nell'intervallo (m, M) corrispondesse un unico e 

 determinato valore di x, compreso tra a q b, ciò significherebbe, che quando 

 si considera y funzione di x variabile da. a e b, essa y prende ciascuno 

 dei valori compresi tra m ed M una volta sola; giacché se y prendesse uù 

 certo valore fi due volte , cioè, per due differenti valori di a;, a, e «2, al- 

 lora, quando poi si considerasse y variabile indipendente al valore J3 di essa 

 corrisponderebbero due valori per la x. 



Ed è anche vera la reciproca, cioè, che se y, mentre x variabile percorre 

 l'intervallo (a, 6), prende ciascun valore compreso tra m ed M una volta 

 sola, considerata poi y variabile, x è funzione di y ad un sol valore com- 

 preso tra a e 6; perocché è evidente che possono aversi per la x, più va- 

 lori compresi tra a e b, solo per un valore di y che si incontra più di una 

 volta, quando x variabile percorre l'intervallo [a, 6). 



Quindi se la ic è funzione di ?/ a un sol valore, compreso tra a e b, co- 

 me ?/ lo è di a;, si può dire senz'altro , che la y va sempre crescendo 



(1) Vedi : Fondamenti per la Teorica delle Funzioni di variabili reali del prof. Ulisse Dini, 

 (pag. 56). 



