56 SUI MASSIMI E MINIMI DI UNA FUNZIONE REALE 



sempre decrescendo, mentre x percorre l'intervallo (a, b), e i numeri M e 

 7n sono i valori di y corrispondenti ai valori estremi a e b della variabile x. 



Per conseguenza, se t/ non va sempre crescendo o sempre decrescendo, 

 mentre x percorre l' intervallo {a, 6), cioè se ammette dei massimi e dei 

 minimi in punti interni dell'intervallo, necessariamente, considerata y va- 

 riabile , a certi valori di y corrisponderanno piìi valori di x compresi tra 

 a e b. 



2. Poniamoci dunque in questo caso cioè, abbia la y dei massimi e dei 

 minimi in punti interni dell'intervallo considerato, non escluso ancbe che 

 ne abbia un numero infinito nell' intorno di certi punti. Consideriamo un 

 valore y = /^ compreso tra m ed M, ovvero anche uno di questi stessi; sia 

 a; = a un valore di x, compreso tra a e b, corrispondente a quello; esiste- 

 ranno sempre dei valori (ò — « ovvero ^-\-t di y (indicando e un numero 

 positivo), tali, che a ciascuno di quelli o a ciascuno di questi ovvero an- 

 che a ciascuno di quelli e di questi corrisponda sempre per x almeno un 

 valore reale, e che differisca da « infinitam,ente poco, quando e sia infi- 

 nitamente piccolo. 



Primieramente, che o per valori t/ = /3 + £ o per valori t/ =/3 — s, e po- 

 tendo essere piccolo ad arbitrio, o anche per gli uni e per gli altri deb- 

 bano sempre aversi valori reali corrispondenti per la x, è manifesto; giac- 

 ché, se la X cessasse di esser reale per gli anzidetti valori di y, ciò signi- 

 ficherebbe, essendo y funzione continua, che è «/ = iS costantemente; il che 

 si è escluso. Inoltre si può anche dire che ciascuno dei valori che la x 

 può assumere in qualsiasi punto /3 -i- e ovvero /3 — e deve difl'erire dal va- 

 lore a, perchè altrimenti per quest" unico valore x = a Idi. y funzione am- 

 metterebbe pivi valori, il che non è; perciò, mentre y variabile percorre l'in- 

 tervallo (m, M), la a; prende ciascun valore compreso tra a e 6 una volta 



sola. 



In secondo luogo, tra i valori che x può assumere corrispondentemente 

 a«/ = /3H-£ a«/ = /3 — e uno differirà da a per una quantità infinite- 

 sima con £. 



Al valore y = ^ corrisponda dunque un valore reale a; = «; si consideri 

 l'oscillazione (1) di ampiezza finita o infinitamente piccola, facendo la quale 

 la y prende una volta, in uno degli estremi o in uno dei punti intermedi, 

 l'anzidetto valore fi; giacché y, nel fare questa oscillazione, va sempre cre- 

 scendo sempre decrescendo, a ciascuno dei valori di y in essa, corrispon- 

 derà un solo valore di a;; e così considerando la x come funzione ad un 

 sol valore di y, mentre questa fa una sua oscillazione, si potrà dire che x 

 è funzione continua di y, giacché dalla y = f (x) si deduce a; = Y (y); e 



(1) Vedi libro citato : pag. 87. 



