DI UNA VAR1ABH.E REALE 5*7 



le due X = Y (;y), y ■=z f [x) ci dicono appunto che se x può, in un tratto 

 qualsiasi, sia pure piccolissimo, essere considerata come funzione a un sol va- 

 lore di y, ivi è pure funzione continua, come ?/ lo ò di x, il che è quanto 

 si voleva. 



Segue di qui, che se per un certo valore ?/ = /3 si hanno per la x piiì 

 valori reali corrispondenti. 



variando y sempre crescendo o sempre decrescendo con continuità nell'in- 

 tervallo (/S /3 — h) ovvero in quello /3 [ò + h) , potendo h essere anche 

 infinitamente piccolo, uno almeno di quei valori di x, conservandosi reale, 

 varierà pure con coutinuità; e se più fossero, che si conservano reali nel- 

 l'anzidetto intervallo, ciascuno varierebbe in esso con continuità; dimodoché 

 quei valoi'i si potrebbero considerare come distinte funzioni continue e mo- 

 nodrome di x, ovvero come rami di una stessa funzione polidroma. Aggiun- 

 geremo inoltre che, per quanto dicemmo in principio intorno al caso in cui 

 ad ogni valore deila funzione data corrisponde un solo valore per la fun- 

 zione inverso, ciascuno dei rami della x, che può essere considerato come 

 una funzione distinta in un intervallo dove è variabile la y , deve essere 

 sempre crescente o sempre decrescente. 



3. Dimostreremo ora che se in un certo intervallo, finito o infinitamente 

 piccolo, in cui si considera variabile y, esistono due rami a:, e x.^ della x 

 che per y = J2 divengono eguali ad «, cioè si ha x^ =: x^ = «, essi non 

 possono essere contemporaneamente crescenti ovvero contemporaneamente 

 decrescenti, e che il valore y = /3, per cui divengono eguali, deve essere 

 un estremo dell'intervallo, nel quale quei due rami esistono insieme. 



Suppongasi che mentre y varia crescendo ovvero decrescendo nell'inter- 

 vallo, sia pure piccoliss'mo, (/3i j3,) che si considera, x^ e x^ vadano conti- 

 nuamente crescendo o continuamente decrescendo insieme; se mentre la y 

 percon'c quell'intervallo tendendo al valore /2, (che mostreremo poi essere 

 un estremo) dove si ha x^ = x^ =^ °^ , essi x^ e x^ andassero crescendo , 

 per un certo valore /3' diverso da /3 si dovrebbe avere iCi = a, <_ a e x.^ 

 = «2 < a essendo a, diverso da «j e p. e. «i < «a; allora x^ crescendo con 

 continuità da «, ad a, prenderà pure il valore «2, e per xi =: «j si avrebbe 

 y = /3" diverso da f^'; quindi per :r, = «j e per x^ =: a^ si avrebbe y = ^' 

 e 7/ = /3'; cioè al valore «^ di x corrisponderebbero due valori per la y. A- 

 nalogamente si ragionerebbe se a;, e x^ andassero decrescendo. 



Si è qui ammesso che -^t, sia diverso da oj; è manifesto che se si volesse 

 supporre a, = «.j, sia che indi, pei valori successivi di y, x^ e x^ cessassero 

 di essere eguali ovvero anche se in un tratto, comunque piccolo, non però 

 in tutto r intervallo che si considera, prendessero gli stessi valori, si po- 



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