58 SUI MASSIMI E MINIMI DI UNA FUNZIONE REALE 



trebbe poi sempre applicare il ragionamento precedente ai punti di quel 

 tratto in cui non prendono gli stessi valori, e perverremmo alla stessa con- 

 clusione cioè che, se per y =:= si ha x^ = x^ = a, al variare di y deb- 

 bono variare l'uno crescendo, l'altro decrescendo, e così essi possono dive-^ 

 nire eguali in un punto solo. 



Per fissar le idee, suppongasi che x^ cresca e x^ decresca quando y va 

 avvicinandosi a /3; se /3 non è un estremo dell'intervallo iu cui x^ e x^ coe- 

 sistono per ìj = /3 -h E ovvero per y = — s, e essendo sufficientemente 

 piccolo, l'uno l'altro o ambedue x, e x^ continueranno a esistere; esi- 

 sta re,: assumerà valori maggiori di « quando y oltrepassa il punto 3, giac- 

 ché , prima che y avesse raggiunto il valore /3, x^ decrescente assumeva 

 pure valori maggiori di «, così essendo x^ e Xz funzioni continue, esisterà 

 un valore «' che ambedue x^ e ac^ assumono 1' uno per un valore y = fi' 

 l'altro per y = /3"; e questo è impossibile. 



Dunque rimane provato che il valore y = ji per cui si ha oc, = ccj = a, 

 è un estremo dell'intervallo in cui essi x^ e x, insieme esistono. 



Occorre appena accennare che per un certo valore y = 3 possono dive- 

 nire eguali ad uno stesso valore a due rami soli, giacché se più rami p. es. 

 tre divenissero eguali in uno stesso punto, due di essi dovrebbero neces- 

 sariamente essere insieme crescenti o insieme decrescenti : il che non può 

 accadere, per quanto sopra dicemmo. 



4. Queste considerazioni sulla funzione inversa di una funzione data, ci 

 conducono subito a parlare dei massimi e dei minimi di questa. 



Diremo che la funzione y nel punto interno x ■= a. dove ha il valore /3, 

 ha un massimo o un minimo isolato, se esiste un intorno (« — e « -h e) 

 assegnabile, entro cui la y non abbia altri massimi o minimi. 



Ciò posto, delle considerazioni precedenti dedurremo con facilità la se- 

 guente proposizione : 



Affinchè il valore /3 della y corrispondente al punto oc = a interno dello 

 intervallo [a, b) sia un massimo o un minimo isolato, è necessario e suf- 

 ficiente che esista un intorno assegnabile {[ò—h 0) nel 1" caso , {/3, /^-i-h) 

 nel 2", entro cui, considerando y variabile indipendente, ad ogni valore di 

 y in esso compreso corrispondano per la ce due valori reali e disuguali , 

 che divengono eguali per y=0; senzachè con ciò sia escluso, che contem- 

 poraneamente vi sieno anche altri valori reali per la x; questi però, quando 

 vi sieno , dovranno avere con ciascuno dei due precedenti una differenza 

 che non potrà ridursi infinitamente piccola quan \o y si avvicina a /3. 



La condizione è necessaria. Infatti, se in « si ha un massimo o un mi- 

 nimo isolato della y, esiste un intorno assegnabile (« — e <^+-'), in cui la y 

 non ha altri massimi o minimi. Quindi mentre x varia da a — e ad «, se si 

 tratta di un massimo , la y andrà crescendo continuamente da /3 — k a fi, 



