DI UNA VARIABILE REALE 59 



posto che per x=a — s si abbia ?/=/3 —h, e per x=ce, sia y=/3, e mentre oc 

 vana da « ad a-f-e', y andrà decrescendo da P a ?—k, avendosi y=^—k 

 per x=a+&'. 



• Se in a vi è un minimo, allora y decrescerà da p+/i a P, quando x per- 

 corre l'intervallo («— £, a); crescerà da P a P+A:^ quando ac percorre quello 

 da a ad «-+■?', 



Giacché y è funzione continua, mentre oc percorre l' intervallo (a— e, a) 

 la ?/ prenderà tutti i valori compresi tra P— /i e p nel 1° caso, tutti quelli 

 tra fi-h/i e P nel 2» ; ciascuno però una volta sola , perchè y è ivi sempre 

 crescente o sempre decrescente; e mentre ac varia da « ad (x-+-i' la y pren- 

 derà tutti i valori compresi tra p e P— /e nel 1° caso , tutti quelli tra P+/c 

 e P nel 2». 



Sia h<.k; allora nell'intervallo (a «-h-e') esisterà un punto a+s't, che sarà 

 lo stresso a+E' se è h=k, in cui ?/ prenderà il valore P — h nel 1* caso, il 

 valore P-f-A nel 2". 



Dunque nell'intervallo da a ad a+j', ?/ prende tutti gli stessi valori, cia- 

 scuno però una volta sola, che prende pure nell'intervallo da «—e ad a. 



Epperò se nell'intervallo da P— /i a p nel 1' caso, in quello da 3-f-/i a P 

 nel 2», si riguarda y come variabile e la a; funzione : ad ogni valore di y 

 corrispondono due valori reali ac, e ce, che divengono eguali ad <x per ?/=P; 

 e se contemporaneamente si avessero anche altri valori reali per la x, que- 

 sti, per quanto sopra dicemmo sulle funzioni inverse, non potrebbero cadere 

 nell'intervallo (« — ^ a-^£'l) e quindi la differenza tra essi e ciascuno dei due 

 Xt e Xì non potrà ridursi infinitamente piccola all'avvicinarsi indefinito di 

 2/ a P. — E, potendo la y assumere pili volte lo stesso valore p mentre x 

 variabile percorre l' intervallo (a 6) , non è escluso che , o nell' intervallo 

 (P-h/i P) in quello (p— A, p) dove si riguardi variabile y esistano anche 

 altre coppie di valori reali per la x che divengono eguali por .v=p, e così 

 questo valore p nella y potrà essere un minimo o un massimo di y non 

 nel solo punto ac=a , ma anche in altri punti , esterni però all' intervallo 

 (a — £ «-f-s'O- — Occorre appena accennare che l'intervallo (P — h, p), (p p-+-/i) 

 è evidentemente assegnabile, quando sia tale, come qui è supposto , l' in- 

 tervallo (a — t a+s'i) ; giacché ad un determinato valore di x corrisponde 

 sempre un determinato valore di y. 



Rimane ora a mostrare che la condizione è anche sulEciente. 



Pongasi dunque che essa sia soddisfatta. Per quanto fu detto preceden- 

 temente il punto y = ^ in cui due rami della x divengono eguali è un 

 estremo dell'intervallo (P-f-A, p) ovvero {^-h p) in cui quei rami sono insie- 

 me reali; e si sa che uno di essi p. es. Xi cresce e l'altro x.^ decresce men- 

 tre y varia da ^—h a ^ ovvero da ^-+-h a p. 



Quindi, se per y:=^ si ha x, = Xj = a per y = ^ — h, ovvero per y=^-i-/i. 



