60 SUI MASSIMI K MINIMI DI UNA FUNZIONE REALE 



secondochè si considera 1' uno o 1' altro degli anzidetti intervalli , si avrà 

 cci=a — £ e Xì^=^-\-e' , £ ed e' essendo numeri positivi determinati, quando 

 sia assegnato h; epperò mentre y percorre l'intervallo da p— /i a p o quello 

 da p+/i a p, X, varierà da «— £ ad a e aCj da a+e' ad a : dimodoché, se in- 

 versamente si considera ac variabile, esisterà un intorno assegnabile (a — s, 

 •x-f-s') del punto « entro cui la ij ammetta il solo massimo o il solo minimo p, 

 5. Consideriamo ora un punto x==a tale che in ogni intorno di esso a 

 destra ovvero in ogni intorno a sinistra , ovvero da ambedue le parti la 

 y=f (ac) abbia infiniti massimi e minimi. Per questo è condizione neces- 

 saria e sufficiente (l) che l'una o l'altra delle differenze / [a+ò) — /" (a) 

 f [ex — S}—f (a) tutte e due considerate pei valori positivi di 3<£ , essen- 

 do £ un numero positivo dato arbitrariamente piccolo, divengano sempre 

 zero, se non per tutti, almeno per alcuni dei valori di S, ovvero, cangino 

 continuamente di segno, ovvero, piìi generalmente, vadano ora crescendo 

 ora decrescendo in valore assoluto coU'impiccolire sempre piiì di S. 

 Di qui si è condotti a quest'altra : 



Se in ogni intorno a destra , ovvero a sinistra , ovvero da ambedue le 

 parti di un punto 3c==a dove si ha «/=p, la stessa y ha infiniti massimi e 

 minimi , in ogni intorno i^—h, pH-/e) , in cui si riguardi y variabile e x 

 funzione, comunque piccoli si suppongano i numeri positivi h e k, esiste- 

 ranno sempre dei valori di y, uno almeno, a ciascuno dei quali corrispon- 

 deranno più di due valori per la ae differenti da a per quantità piiì piccole 

 di un numero dato arbitrariamente piccolo. 



Si noti però che i valori di y, di cui qui è questione, potrebbero trovarsi 

 solamente al di sopra di p cioè nell'intervallo (P+/i^> p) ovvero al di sotto, 

 cioè neìl'intervallo (P '^—h). 



1." La esposta condizione è necessaria. Se una di quelle differenze p. es. 

 la f («4-5) — f (a) per quanto piccolo si prenda e, per alcuni valori positivi 

 di 5<£ diviene sempre eguale a zero, ovvero cambia continuamente di se- 

 gno col variare di 5<?, ciò evidentemente significa che per certi valori a-+-5, 

 la y assume il valore f{a)=^, giacche la f ix) funzione continua non può 

 passare da un valore maggiore di f (a) ad uno minore senza passare per 

 /■(a) : e in ogni intorno (« «+0. di tali valori a-f-<5 (<J<£) ve ne sarà un nu- 

 mero infinito; se ora, invertendo, si considera y variabile in un intorno {^-h, 

 g-f-A;) e X funzione, è manifesto che in esso intervallo, comunque piccoli h 

 e k sieno, esiste sempre almeno il valore y=-^ a cui corrispondono infiniti 

 valori reali per la ae tutti compresi in un intervallo (a a-f-s) piccolo ad ar- 

 bitrio. 

 Poniamoci ora nel caso piìi generale che una delle anzidette differenze 



(1). Vedi l:bro ciuto pag. 58-S9. 



