DI UNA VARIABILE REALE 61 



p. es. la /"(a-l-3) — /*(«) all'impiccolire di S vada ora crescendo ora decre- 

 scendo in valore assoluto. Se la differenza /'(a+<5)— /i^a) va oscillando nel 

 suo valore assoluto a partire da un certo valore di S^S^, ciò evidentemente 

 significa che la f (a+5) va ora crescendo ora decrescendo al variare di 3\ 

 in un intervallo comunque piccolo (a «H-s), dove esistono infiniti massimi 



e minimi della y, consideriamo i punti a+^o, a+^i, ^^+^4, a+^s, a-^S^ 



nei quali cadano questi massimi e minimi, e precisamente sia Po^r:/" (a-i-5(,) 

 un massimo; <^^z=f(a-{-l^), il minimo che lo segue immediatamente; Pj = 

 /■(a-F^j) il massimo seguente Pi; 'v'3=f {ac+§^) il minimo seguente p^; P^ il 

 massimo seguente; dei due minimi ^t e Pj sia Pi>P3; allora è subito ma- 

 nifesto, che tutti i valori che // assume quando cresce da <^^ a p^, gli as- 

 sume pure quando decresce da fi a ^^■, ma giacché precedente a p, si ha 

 il massimo Po, così nel decrescere da, % a, ^i y prenderà pure o tutti o al- 

 meno un tratto dei valori che prende fra p^ e p., : si hanno dunque tre 

 oscillazioni : da Po a gì, da p, a Ps , e da Pj a pj in ciascuna delle quali, 

 almeno per un certo tratto sia pure infinitamente piccolo, y passa per gli 

 stessi valori; se fosse invece P,<p3 si considererebbero le tre oscillazioni 

 da p, a Pj da p^ a %, da p, a p^ e si perverrebbe alla stessa conclusione ; 

 se ora, invertendo come al solito , si considera y variabile nell' intervallo 

 [m' M'), essendo m' e M' il minimo e il massimo assoluto di y funzione di 

 X nell'intervallo (« a-i-e), è evidente che esisteranno dei valori di y, a cia- 

 scuno dei quali corrisponderanno per la funzione inversa x almeno tre va- 

 lori compresi entro (a a-t-e) e l'intervallo [m' M') comprenderà il valore P= 

 /"(a), non escluso il caso, che questo possa esserne un estremo. 



Così è dimostrato quanto si voleva anche nel caso ora considerato per la 

 f{<x-hS)—f(a), perocché preso ad arbitrio un intervallo (p— /i P+^') esisterà 

 sempre un intervallo (« a+e) minore di un numero «^ piccolo ad arbitrio, in 

 cui variando x, il massimo assoluto di y sia appunto p+fc ovvero sia minore 

 di p+/e e il minimo assoluto sia P— /i ovvero un numero maggiore di questo: 

 e allora per questo intervallo (a a+s) si applicherebbe il ragionamento pre- 

 cedente. 



2." Rimane ora a dimostrare che la condizione è anche suflBciente. 



Pongasi dunque che essa sia verificata; se in ogni intorno P— /ì, P-h/c dove 

 sia variabile y, comunque piccoli si prendano h e k, esistono sempre dei 

 valori di y per ciascuno dei quali la ce abbia più di due valori differenti da 

 a per quantità arbitrariamente piccole, ciò significa, che quando si consi- 

 dera y funzione di x, essa y prende ciascuno di quei valori non per un 

 solo valore di x ma per ciascuno di quelli sopradetti che a quel valore di 

 y corrispondono : cioè, dunque y prende uno stesso valore per piiì di due 

 valori di x i quali , per essere supposti così poco differenti da a come si 

 vuole, saranno tutti compresi in un certo intervallo (<x — e «+£') piccolo ad 



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