62 SUI MASSIMI K MINIMI DI UNA FUNZIONE REALE 



arbitrio : e così si è condotti a concludere, che, in tale intervallo variando 

 la X, la y fa più di due oscillazioni, e giacché è funzione continua assume 

 effettivamente almeno un valore massimo e un minimo; sia il massimo nel 

 punto cc^=a, il minimo nel punto x=si^; si prenda un intervallo intorno al 

 punto x=a da cui sieno esclusi questi punti se entrambi sono fuori di a, 

 e se uno cade in «, si escluda l'altro; sia (a— si «+£?) il nuovo intervallo 

 interno al precedente; in esso y variando al variare di x rimarrà compreso 

 fra i due valori (p — h' ^+k') ; ora anche tra questi estremi , per ipotesi , 

 esisteranno alcuni valori che y prende per più di due valori di x; quindi 

 anche nell' intervallo {a~£^ a-i-Ha) la y ammette almeno un massimo e un 

 minimo; così continuando si vede come entro l'intervallo (a— e «-+-£') si tro- 

 vino quanti massimi e minimi si vogliono. 



In tal modo è dimostrato completamente quanto si voleva , giacche ad 

 ogni intorno (a— e a-i-s') corrisponde sempre un intorno (P — h p+A;) limitato 

 dal minimo e massimo assoluto ohe y prende nell'intervallo (a—s a+e'). 



6. Della condizione ora esposta per l'esistenza di infiniti massimi e minimi 

 in ogni intorno (a— £ a+s') del punto x=3:, si può anche presentare un al- 

 tro enunciato. Comincio col mostrare che : 



Se in ogni intorno (a— e a+e') di un punto x=^gi., la y ha infiniti massimi 

 e minimi, allora, in ogni intorno (P— /i ^+k) del punto ?/=? (essendo p il 

 valore corrispondente a x=a) dove si riguardi y variabile, esisteranno sem- 

 pre più valori di y, due almeno, per ciascuno dei quali due valori di x, reali, 

 diseguali per valori massimi o minimi di esso, divengono eguali a un u- 

 nico valore differente da a per una quantità tanto piccola quanto si vuole; 

 non rimanendo escluso con ciò, che, per «/=p due valori di x possano an- 

 che divenire eguali ad a stesso. 



Si è già dimostrato infatti che, nell'ipotesi qui fatta, in ogni intorno ^—h 

 p-hfc) si trovano sempre dei valori di y, a ciascuno dei quali corrispondono 

 almeno tre valori di x reali e diseguali; come si è veduto, ciò accade, per- 

 chè si possono sempre considerare tre oscillazioni successive della y tali 

 che in ciascuna di esse, almeno per un tratto, sia pure infinitamente pic- 

 colo , la y passa per gli stessi valori ; sia y^ uno dei valori che y prende 

 in ciascuna delle tre oscillazioni, che chiameremo >., X', X"; cioè, y prenda 

 una prima volta il valore y^ quando sia oc^ar, : una seconda volta quando 

 sia x=Xi, e una terza per x=x^; ora, quando si fa variare y da y, verso lo 

 estremo comune alle due oscillazioni X e X', diverranno eguali in esso estremo 

 ac, e acj; quando si fa variare y da y^ verso l'estremo comune alle due X' e 

 X" diverranno eguali x^ e x^; questi due estremi saranno l'uno un massimo 

 l'altro un minimo di y, e giacché la differenza tra essi non è altro che la 

 ampiezza dell'oscillazione X', perchè i medesimi sieno compresi tra ^—h e 

 fi-y-k, basterà che 1' oscillazione X' sia di quelle che la y fa mentre ae per- 



