DI UNA VARIABILE REALE 63 



corre l' intervallo (a — -^ a+v,) nel quale il massimo assoluto è ^-\-k , e il 

 minimo assoluto è p — h; inoltre g-iacchè ce, x^ x^ possono sempre supporsi 

 così prossimi ad a come si vuole, così anche i due valori , cui divengono 

 rispettivamente eguali oc, e x^, x^ e x^, essendo l'uno compreso tra ce, e as,, 

 l'altro tra Xj e x^, come è noto dal n. 3, saranno pure così prossimi ad a 

 come si vuole. 



Reciprocamente a quanto ora si è stabilito, dimostreremo anche che : 



Se in ogni intorno (^ — h p-hA;) esistono sempre più valori di y, almeno 

 due, per ciascuno dei quali due valori di x, reali e diseguali per valori di 

 y minori o maggiori di esso, divengono eguali a un unico valore così pros- 

 simo ad a come si vuole, non escludendo che possano anche divenire eguali 

 ad a. stesso per y=!^j , allora in ogni intorno («— £ «+£') di questo punto 

 x=(x la y funzione di x ha infiniti massimi e minimi. 



La dimostrazione è analoga a quella del N. 5-2°. 



Si prenda un intorno (a— s «+£') del punto x=za.; il massimo assoluto di 

 y sia p-h/c, il minimo assoluto p— /i; riguardando y variabile nell'intervallo 

 (p— /i, p+/c), per l'ipotesi fatta, si avrà più di un valore, per cui due va- 

 lori di X divengono eguali ; due siffatti valori di y sieno y' e y" ; saranno 

 essi, per le proprietà stabilite al n. 3, o due massimi o due minimi, ovvero 

 un massimo e un minimo della y : corrisponderanno ai considerati massimi 

 minimi y' e y", i valori rispettivi di x, x' e x", che, per l'ipotesi fatta che 

 essi sieno così prossimi ad a come si vuole, cadranno entro (a — ^ «+«'); ciò 

 posto, si prenda un intervallo (a— 3 a4-5') dal quale sieno esclusi oc' e x", 

 e se uno di essi cade in a, sia solo escluso l'altro; in questo nuovo inter- 

 vallo interno al precedente («— s a+s') sia p+A;' il massimo assoluto, p — h' 

 il minimo : k' al più potrà essere eguale a A; e A' ad h; anche nell' inter- 

 vallo (p— A' P+Zc') si troverà più di un valore di y, pel quale divengono 

 eguali due valori di x; questi valori di y, che potrebbero anche essere eguali 

 ai precedenti y' e y", corrisponderanno ai punti x'", x"" che cadono nell'in- 

 tervallo (a — '1 a-\-'/j e quindi anche nell' intervallo (« — s «-f-s') : oosì conti- 

 nuando si vede come entro questo si possano trovare quanti punti si vo- 

 gliono, in cui la y abbia massimi e minimi. 



Eaccogliendo si può dunque dire : 



Affinchè in ogni intorno («—e a+e') di un punto x=ol la y abbia infiniti 

 massimi e minimi, è necessario e suffìcieìite che in ogni intorno (p— /i P-+-A;) 

 del valore ^=p, dove si riguardi y variabile, esistano sempre più valori di 

 y, due almeno, per ciascuno dei quali due valori di x, reali e diseguali per 

 valori minori o maggiori di esso, divengono eguali a un unico valore pros- 

 simo ad a tanto quanto si vuole; non escluso che per y=^, possano anche 

 divenire eguali alla stessa a. 



Siffatti valori di y saranno appunto i massimi e i minimi. 



