64 SUI MASSIMI B MINIMI DI TINA FUNZIONE REALE 



7. In particolare prendiamo ora a considerare una equazione algebrica 



(1) f{xy)==o 



di g-rado m rispetto ad y, di grado n rispetto ad oc. 



Neil' ipotesi più generale che x q y rappresentino numeri complessi la 

 equar. (1) , definisce (*} una sola funzione y dà x continua e composta di 

 pili rami. 



Se mentre x percorre l'intervallo reale da a a 6 (a e 6 finiti), uno o più 

 rami y^ y^... i/r della y sono sempre reali e finiti , tutti gli altri immagi- 

 nari, e in nessun punto dell'intervallo che si considera divengano mai eguali 

 due degli yi y^... t/r ; giacche in nessuna porzione, sia pure piccolissima, 

 dell'intervallo suddetto uno degli yiy^... Vr può essere costante (perchè, se 

 fosse, a siffatto valore costante corrisponderebbero infiniti valori della x) 

 cosi sarà qui applicabile la teoria precedente; dalla quale , ponendo che i 

 coefficienti nella f [x y) = o sieno reali , deriva subito la seguente conse- 

 guenza. 



Se mentre x percorre l'intervallo da a a 6 esistono uno o più rami reali 

 e finiti della y e non vi sono punti in cui due di essi divengono eguali, 

 ne punti in cui due o più dei rami immaginari si riducono reali ed eguali 

 se un valore p è massimo o minimo per uno di quelli,. la f'(x, 0)=o ammet- 

 terà una radice reale x^^/x multipla di ordine pari e compresa tra a e b; e 

 reciprocamente se per y^ la f(x y)=^ ammette una radice reale ac=a multi- 

 pla di ordine pari, e questo valore /3 uon è un valore comune che due o 

 più rami assumano per x=cii, allora in un intorno del punto x=a esisterà un 

 ramo reale ?/i della y che in x=ot. assume il valore P e ivi ha un massimo 

 un minimo. 



Infatti, ammessa l'esistenza dei rami reali y nell'intervallo da a) a 6), 

 dalle considerazioni generali sopra esposte deriva subito che se P è un mas- 

 simo un minimo p. es. di y^ il valore x^^a. sarà certo radice doppia della 

 f{x fs)=o prodotta dal divenire eguali per h=o delle due radici reali in x 

 che debbono esistere pei valori di y^ compresi tra p e '^—h ovvero per quelli 

 tra /3 e /3+/i; ma, giacche non si può escludere che radici immaginarie in 

 X coniugate esistenti pei valori di y^ tra /3 e /j — h e per quelli tra /3 e fì-\-h 

 divengano reali ed eguali ad « unicamente per h=o, così, almeno in ge- 

 nerale, sarà a radice multipla di ordine pari. 



Reciprocamente, se per »/=:?, valore non comune a più rami, la f{x y)=o 

 ammette una radice reale a multipla di ordini pari , questa , oltreché da 

 coppie di radici immaginarie che si riducono eguali ad « per y=^ , deve 

 sicuramente provenire anche da due radici reali esistenti pei valori di y 



(*) Vedi Memoria sulle funzioni algebriche di una variabile complessa del prof. Enrico Betti. 



