DI UNA VARIABILE REALE 65 



tra /3 — h e /3, o per quelli tra /3 e {i-\-h ; infatti o nell' uno o nell'altro di 

 questi intervalli certo esiste una radice reale che diviene eguale ad a per 

 h=o, giacché se non ne esistesse alcuna in nessuno dei due intervalli e 

 solo per ?/=/3 si avesse x reale, allora, inversamente, pei valori di x in un 

 intorno del punto a;=:a e sarebbe costantemente y=-^ ovvero il valore /3 

 sarebbe il valore comune che due o piìi rami y, immaginari per x vicinis- 

 simo ad a, assumono appunto per x=ci.; il che è contro l'ipotesi; dunque 

 ai valori di y tra fJ — h e p o a quelli tra P e p+A corrisponde certo un va- 

 lore reale di x compreso in un intorno [c—k o:-\-k), epperò a siffatto valore 

 di X corrisponde un valore reale di y; cioè in un certo intorno del punto 

 oc=yi esiste un ramo reale y, che per x=^ prende il valore P; ma si vede 

 anche subito, che se esiste una radice reale x pei valori di y compresi nel- 

 l'intervallo da p — h a P in quello da P a ^-hhj contemporaneamente ne 

 esisterà pure un' altra che diviene eguale ad « per h=o , perocché altri- 

 menti, le radici immaginarie essendo a coppie, non potrebbe mai per ?/=? 

 prodursi una radice ac=3c multipla di ordine pari. 



E per le considerazioni generali già menzionate, giacche ?/, è il solo ra- 

 mo che per x=-a. assuma il valore P, le radici reali in x della f{x y)=o che 

 si riducono eguali ad a per y=^ non potranno essere più di due, e come 

 si sa, l'una crescerà da a — k ad a, l'altra decrescerà da a-\-l ad a, quando 

 y si avvicina a 0, che sarà un estremo dell'intervallo in cui siffatte radici 

 X esistono, epperò un massimo o un minimo. 



Dunque, nelle ipotesi qui fatte, se ad a;=a corrisponde un massimo o un 

 minimo «/j=P, pel sistema di valori x==oc, y^■=.^ saranno soddisfatte le equa- 

 zioni. 



., s d f{x y) d'"-* f[x y) 



con ^ > 1 : e reciprocamente; e inoltre, se P è un massimo la f(x y)=o per 

 valori di ?/ < /3 e vicinissimi a /3 ammetterà due radici in x reali e dise- 

 guali vicinissime ad a; se P è un minimo, ciò accadrà pei valori di y>^; 

 ed è evidente che si potrà distinguere il massimo dal minimo anche osser- 

 vando che : se fj è un massimo, pei valori di x compresi tra {c—k, a-^-k), 

 k sufficientemente piccolo, la / (x y)=o ammetterà una sola radice reale y 

 compresa tra /z e B—h, potendo h essere infinitamente piccolo, quando si 

 prenda k convenientemente; se P è un minimo, siffatta radice y cadrà tra 

 fi e /3-hh. 



Queste osservazioni ci conducono immediatamente a ritrovare pel caso 

 qui considerato una nota regola per la distinzione del massimo dal minimo. 



Essendo la f{x y) razionale, intera e di grado w si ha : 



