66 SUI MASSIMI E MINIMI DI UNA FUNZIONE REALE 



l.^.m \ dx dy } 



e le derivate di ordine m saranno costanti. 



Se per un sistema di valori x=<^, y=^ sono sodisfatte le condizioni 2), 

 ordinando secondo le potenze di h si avrà 



t (a+/f, P+/IJ— y^^iy ^^n + (2;+l )\dx^^''^ • '^m! d^) 



hiÉL k-^ \ 



\ dy dx dy / 



x=a, ^=/3 



^'(^"f.2k "^'^ 



2 \dy'* dx dy^ 



X—<x, y=^ 



•) 



1.2.m 





—y\ non è zero, la f{a+k, /3-hh)=o per ogni valore di k, che qui 



supporremo sempre reale, ammette m radici h, una sola delle quali diviene 

 piccola quanto si vuole coll'impiccolire indefinito di k; ciò si fa manifesto, 

 quando si osservi, che coll'impiccolire indefinito di Jc in valore assoluto può 

 rendersi piccolo quanto si vuole in valore assoluto il termine indipendente 

 da h, e questo solo può rendersi tale; dal che segue subito che siftatta ra- 

 dice h deve necessariamente essere reale, perchè se fosse immaginaria, al-, 

 lora sarebbero due le radici, il cui modulo si riduce piccolo sinché si vuole 

 all'impiccolire di k. 



Così è provato nuovamente, ciò che già sapevamo, che cioè , sodisfatte 

 le condizioni 2) in un intorno del punto a esiste un solo ramo reale della 

 y, che per x=x assume il valore p. 



Dobbiamo ora vedere se l'anzidetta radice h sia positiva o negativa. 



Per quello che dianzi dicemmo, esiste dunque un numero positivo ho, e 

 corrispondentemente , un numero positivo ko tale che per tutti i valori di 

 k minori in valore assoluto di ko la f(oi-\-k, ^-[-h) = o ammetterà una sola 

 radice h compresa tra —ho e' -hK; e assegnato un tale valore ho, anche 

 per ogni altro numero h'o minore di ho si potrà assegnare un numero cor- 

 rispondente k'o minore di ko tale che per tutti i valori di k minori in valore 



