68 SUI MASSIMI K MINIMI DI UNA FUNZIONE REALE 



È manifesto poi che uno stesso valore P potrà essere, corrispondentemente 

 a differenti valori di x, massimo o minimo di uno stesso ramo ?/ o di più 

 rami come anche differenti valori p, p',... corrispondenti a uno stesso x=(x 

 potranno essere massimi o minimi di differenti rami. 



8. Pongasi ora che nell'intervallo da a a 6 vi sieno radici reali del di- 

 scriminante Y){x) rispetto a y della f(x y)=o; e che a una di queste radici 

 x=s'. corrisponda, dalla f{x y)=o , una radice «/=P, che sia radice del di- 

 scriminante D[ij] rispetto a x. 



Se al solito si suppone che mentre x percorre l'intervallo da a—Jc ad a-+-k 

 esistano i rami reali y^ y>-.-- yr reali e finiti e i rimanenti sieno sempre fì.- 

 niti e immaginarli , per un siffatto valore x=a due o piìi di questi rami 

 reali diverranno eguali tra loro e assumeranno il valore yS. 



Pei valori di x nell'intervallo da a—k ad a-hJc la f(x y) potrà porsi sotto 

 la forma f[x y)={y—f^{x)] {y—'p.J.x)].... iy—frix)], f[x, y) dove ?.(a;), 9i[x), .... 

 fj[x) rappresentano ?/i y2.... yr e sono, quando ciascuna si considera a sé, 

 funzioni di x sempre continue e a un sol valore reale e finito dentro l'in- 

 tervallo considerato, e f[x y) è una funzione che per x compreso tra a e 

 b non è mai nulla per valori reali di y. 



Ammettasi che per cc=a divengano eguali a P due soli dei rami yi 2/2,... 



yr, cioè, sia ipi(a)=:?2(a)=P. 



1.' Il valore p può essere un massimo un minimo di yi senza essere né 

 massimo né minimo di 1/2. 



Per l'ipotesi fatta, ^ è radice doppia della /(« ?/)=o; cioè per x=à, y=^ 



saranno verificate le 



^/ N d f(x y) 

 fi^ y)=o : -I-'^ =0 : 



P essendo poi un massimo un minimo di t/i, pei valori di y tra g— /i e 

 p, (A positivo e sutficientemente piccolo) ovvero per quelli tra /S+A e /S, 

 secondochè si tratti di un massimo di un minimo, esisteranno due radici 

 in X reali e diseguali della y—^^{x)=o le quali saranno anche radici della 

 f(x y)=o e diverranno eguali ad « per h=^o ; inoltre pei valori di y tra 

 jS_/i e /3 e per quelli tra fi e y3+/i esiste una radice semplice reale della 

 y_^j(x)=o, che sarà pure radice della f{x y)=o, e per h=o diverrà eguale 

 ad a; dimodoché « sarà radice tripla della f{x fi)=o; ma giacché non si 

 può escludere che radici immaginarie coniugate esistenti per valori di y 

 tra fi— Il e /3+/i, divengono reali ed eguali ad « unicamente per h=o, così 

 sarà a in generale, radice multipla di ordine dispari eguale almeno a fi.— 

 Saranno quindi per oc^a, y='fi sodisfatte le equazioni 



3) f{. ,)=„, il^ =„, ■'^I^ =,_ '^^ =„ '-Iplì ==, t > 1. 



' '^ ^' ' dx dx* ax*' dy ' - 



