DI UNA VARIABILE REALE 69 



Reciprocamente, se, per x=.o., y=<^ sono verificate queste equazioni, e se 

 in un intorno («— ft, a-\-]c) del punto a esistono due rami reali della y, che 

 per cc=:a assumono il valore P, sarà p un massimo o un minimo di essi. 



L'essere a radice multipla di ordine dispari della f{x ?,)^^o, significa che 

 pei valori di y compresi tra /i—h e P+/e esiste certo una radice reale della 

 f{x y)=o, che si riduce eguale ad « per h=o, e questa radice reale in x 

 rimarrà sempre compresa tra « — k e a, ovvero tra « e a-\-k, ovvero anche 

 tra ci—k e a-^k, essendo k un numero positivo; inversamente, per x varia- 

 bile in siffatto intorno del punto « si avrà almeno un ramo reale y che per 

 x=ci. assume il valore P; ma giacché p è radice doppia della /"(« y)=o, così 

 si vede subito che dovrà pure esistere un altro solo ramo, epperciò appunto 

 reale, della y, che pure assume il valore /3 per a;:=a. 



Dunque pei valori di oc compresi in un certo intorno del punto « varrà 

 la formula 3), nella quale sia r eguale almeno a due. Poniamo ora che valga 

 pei valori di as compresi tra « — h e a-hk [k numero positivo) cioè, che al- 

 meno i due rami reali y, q y^, che per cc=:a assumano il valore p, esistano 

 in tutto l'intervallo da a — h ad a-f-Ze. — Di qui deriva subito che delle ra- 

 dici reali in x della f{x y)=o per y variabile da /3 — k a /3, o da j3-}-h a P 

 ne esiste piìi d'una; perchè entrambi i fattori 



y~?^(x) : y-f^{x) 



debbono pure annullarsi per sistemi di valori di x vicinissimi ad a e a /3 

 rispettivamente ; debbono quindi esisterne almeno tre : d' altronde non ne 

 possono esistere più di tre, perchè due soli rami y^ y, assumono il valore 

 /3 per x=a, cioè per questi valori sono verificate le due 



y—f^{x)=0, y — f^[x)=0; 



e rammentando le considerazioni generali dei N.' 3 e 4 si ha, che una di 

 queste equazioni per un valore y vicinissimo a /3 può ammettere al più due 

 radici reali in x vicinissime ad «, una minore e l'altra maggiore, e che il 

 valore p, per cui esse divengono eguali è un estremo dell'intervallo in cui 

 esse esistono ; rimane dunque provato che per y minore o maggiore di ^ 

 si hanno tre radici reali in x della f{x y)=o vicinissime ad « , e g è un 

 massimo o un minimo di uno dei due rami; è un massimo se le tre radici 

 reali in x vicinissime ad « esistono nell'intervallo /3—h, /S; è un minimo se 

 esistono nell'intervallo ^-hh, fi. — Di queste tre radici in as reali nell'inter- 

 vallo /3 — h, P; in quello p-f-Zi, p due divengono immaginarie nell'intervallo 

 P+/i, p in quello ^—h, p rispettivamente. 



Si è condotti più facilmente a una regola per distinguere il caso del mas- 

 simo da quello del minimo, riguardando x variabile nell'intervallo da a—k 

 ad a-f-/c; allora è manifesto che , se A; è sufficientemente piccolo , ad ogni 

 valore di x compreso in uno dei due intervalli « — k, a ovvero « a-hk (« 



Giornale di Scienze iMat. ed Eeon., Voi. XIV. 10 



