DI UNA VARIABILE REALE 71 



definitamente o almeno pei valori di k e di h minori in valore assoluto di 

 certe quantità determinate, divengono e rimangono sempre più piccole di 

 quantità finite. 



Giacché (— r) 6 supposto diverso da zero, così dalla forma precedente 

 a, p 

 si vede che la f^a+k, ^-hh)=o per k=o ammette due radici h eguali a zero; 

 per k che impiccolisce indefinitamente si hanno dunque due sole radici h, 

 il cui modulo impiccolisce pure indefinitamente, mentre i moduli delle al- 

 tre radici h rimangono superiori a una certa quantità finita, senza però di- 

 venire infiniti, giacche supponiamo che il coefficiente della più alta potenza 

 di h contenga un termine indipendente da k. 



Le due anzidette radici h divengono dunque per k=o infinitesime degli 

 ordini rispettivi «, e a,, e si avrà, come è noto (1) 



Se queste radici fossero immaginarie, sarebbero immaginarie coniugate, 

 e dovrebbe perciò aversi 



2 < + 1 



«.=«.. 



ora l'ordine dell'infinitesimo per k=o del coefficiente di h nella f{<x-\-k, p-+-/i), 

 per le note relazioni tra i coefficienti e le radici, sarà eguale o superiore 

 al minore dei due «, e «, : e quindi quando fosse 



2/ + 1 



j 



dovrebbe aversi 



-1^^^ 



Per conseguenza se è 2^+1 > 2(s— 1) si può dire senz'altro che quelle 

 due radici h considerate pei valori assoluti di k minori di un certo numero 

 positivo ka, sono reali. 



Se poi è 2^+1 < 2(s— 1), ciò significa che esse radici h se sono reali pei 

 valori positivi di k, cessano di esserlo quando k passa dal positivo al ne- 

 gativo; e se sono reali pei valori negativi di k, cessano di esserlo pei va- 

 lori positivi. 



Pongasi che siano entrambe reali così per kyo come per A;<o; al passare 

 di k dal positivo al negativo, il termine indipendente da h nella f{pL-\-k, i^-hh) 

 cambia segno, evidentemente, giacché qui si considerano valori assoluti k 

 abbastanza piccoli , e si può anzi intendere di considerare tali valori di k 



(1) Vedi memoria citata del prof. Betti. 



