72 SUI MASSIMI E MINIMI DI UNA FUNZIONE REALE 



che per essi la kw^ , sia in valore assoluto piccola così da non avere in- 

 fluenza sul segano della quantità 





-i-JcW^ 



al cambiare di segno di k, dovrà dunque cangiare di segno un numero di- 

 spari di radici reali h; e giacché qui sono due sole quelle che si annullano 

 per k=o, così una sola di queste dovrà cambiare di segno insieme con k; 

 così è certo che o per kyo o per k<.o queste due radici avranno segni e- 

 guali; ma allora il coefficiente di h, quando A; va a zero per valori positivi 



2 t-\-l 

 negativi rispettivamente diverrebbe infinitesimo di ordine a^z=ix,^= — ^— - 



si avrebbe quindi s— 1= — ^— , il che è assurdo. 



Dunque, se è 2t-ì-l < 2(s — 1) le due dette radici non sono sempre reali 

 per tutti i valori di k compresi tra +ko e — ko, essendo ko un numero po- 

 sitivo piccolo sufficientemente, ma non sono neanche sempre immaginarie 

 appunto perchè col cambiare il segno di k cambia il segno del termine in- 

 dipendente da h; sono dunque queste radici li reali a destra di k=o, e im- 

 maginarie a sinistra oppure reali a sinistra e immaginarie a destra. 



Noi consideriamo dunque il caso in cui è 



• 2^+l>2(s-l): 



allora esistono in un certo intorno (ac—ko «+^o) i due rami reali y^ e j/,, e 

 come già sappiamo, il valore p, che essi assumono per x=!x, è un massimo 

 un minimo di uno di essi. 



Vediamo come si distingue l'un caso dall'altro. 



È chiaro che il valore p sarà un massimo , se a destra o a sinistra di 

 k=o le due radici reali h, delle quali si è parlato sin qui, sono entrambe 

 negative; sarà un minimo se entrambe sono positive; e giacché al cambiare 

 il segno di k una sola di esse cambia segno , cosi si vede che effettiva- 

 mente a destra o a sinistra di Jc^o esse saranno ambedue del medesimo 

 segno. 



Indichi ho un numero positivo tale che per tutti i valori di k minori in 

 valore assoluto di un certo numero positivo kg la f(<x-+-k, p+fe)=o ammetta 

 due radici h comprese tra K e —h^; e tutte le altre radici abbiano moduli 

 superiori a una certa quantità determinata, ma non però infiniti. 



Tali numeri ho e ko, per quello che dianzi dicemmo^ è manifesto che esi- 

 steranno sempre ; inoltre , per ogni altro numero h'o < h^ esisterà pure un 

 numero corrispondente k'o così che i due numeri h'o e k'o godano rispetto 

 alla f{ci-\-k, ^-\-h)=o la stessa proprietà di cui godono i due K e A;»; dimo- 



