DI UNA VARIABILE REALE 73 



dochè si può prendere piccolo ad arbitrio un numero K e sempre esisterà 

 un corrispondente k^ tale che per tutti i valori di k minori in valore asso- 

 luto di ^0 la f{<^+k, ^-[■]i)=o ammetta quelle due radici reali comprese tra 

 4-/«o e —K. 



Nel caso nostro si tratta di investigare se per A; > o o per k < o la 

 f[(x-hk, /2-\-h)=^o ammette due radici tra o e ^o ovvero tra — ha e o. 



Applicando il noto teorema di Budan-Fourier, basterà considerare la se- 

 rie delle tre funzioni : 



/^.i(+i r / (in+if\ 1 T ì t d'F \ ~ì 



t[(|^)^^''^"^^^ 



a, 3 



A(»+fc, f+f^)=''-'[-^,{Jhyhk.o,]+l[('^yk^,^ 4«>>?^' 



A («+^, nh) = -^ [ (^ ) +kw,-+-dhtv,-hSh*w\-h -^ w\\ 



Se, come si può, si prendono ho e il corrispondente k^ così piccoli, che 

 i termini contenuti nelle parentesi e aventi un fattore k o h, quando si dà 

 ad h il valore ztho e, a A; un valore qualunque minore di koìn valore as- 

 soluto, sieno in valore assoluto piccolissimi rispetto ai primi termini delle 

 parentesi medesime, e propriamente tali che possano essere trascurati quando 

 si vogliano solamente conoscere i segni di quelle funzioni pei detti valori 

 di /i e di k, allora dunque basterà considerare i segni delle quantità 



feit+i / t/it^Y \ 1 / d'f \ ^/'JY\ 



a, p a, p a, p 



^ {s-i)ì\dx'-'dyl ~^ 2 W I 



a, p a, ^ 



^(f) 



cioè, osservando che le 6) e e) sono le derivate prima e seconda rispetto a h 

 del trinomio a), si vede che si è condotti a investigare la situazione delle 



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