DI [INA VARIABILE REALE 75 



divengono eguali ad a per h^o; cosicché « sarà intanto radice doppia della 

 precedente; essendo poi P un minimo di y^ la 



y—rp^{x)=o 



pei valori di y tra P-h/i e p ammetterà due radici reali diseguali e che di- 

 vengono eguali ad a per h=o : e così a sarà radice doppia anche di que- 

 sta, e per conseguenza radice quadrupla della /"(oc, P)=o; e in generale, a 

 cagione delle coppie di radici immaginarie che possono ridursi eguali ad 

 a unicamente per y=^, così « sarà radice multipla di ordine pari eguale 

 almeno a 4. 



Saranno dunque anche in questo caso per x=^, e y=l^ verificate le pre- 

 cedenti equazioni m); e si distinguerà questo dal caso precedente osservando 

 che pei valori di y vicinissimi a p tanto minori che maggiori debbono esi- 

 stere due radici reali in ce e diseguali. 



Ma tutte queste condizioni possono pure verificarsi in un terzo caso, in 

 quello cioè, in cui p sia un valore comune dei due rami reali y^ e ?/, senza 

 essere né un massimo né un minimo per alcuno dei due. 



Poniamoci infatti in questa ipotesi ; p sarà intanto radice doppia della 

 /'(a, y)=o; ed essendo per x-=a, ?/=p soddisfatte le due 



e non essendo ^ né un massimo né un minimo di f^{x) , o di Pj(ac) , per y 

 compreso tra l^—h e P come per y compreso tra p+/i e p (/i al solito suf- 

 ficientemente piccolo) esisterà per ciascuna di quelle equazioni una semplice 

 radice reale x che diviene eguale ad a per h = o- dimodoché per ?/=p la 

 f(x y)=o ammette una radice doppia x=a; ma, al solito, a causa dì cop- 

 pie di radici immaginarie in ce, potrà a essere radice multipla di ordine 

 pari, eguale almeno a 2; saranno così anche in questo caso verificate le 

 equazioni m) però con t%l; e pei valori di y vicinissimi a p tanto minori 

 che maggiori esisteranno nella f(x y)=o due radici in x reali e diseguali. 



Riassumendo, possiamo dunque dire : 



Se in un intorno determinato («— /c^ a-hJc), dove si consideri variabile oc, 

 esistono due rami reali della y definita dall' equazione /"(ce 2/)=o, che per 

 x=a assumono, essi solamente, il valore comune p, che é un massimo o un 

 minimo di entrambi ovvero massimo di uno e minimo dell'altro oppure né 

 massimo né minimo di alcuno, allora per x=(x , y=^ saranno verificate le 

 relazioni 



m) 



— - =0 con />1, 

 dy ^ 



e ora proveremo, che, ammessa l'esistenza di due rami reali della ;/ nello 



