76 SUI MASSIMI E MINIMI DI UNA FUNZIONE REALE 



intorno a—h, a-^-lc, 1' essere verificate per »=:«, y=.^ le relarioni m) porta 

 che il valore p comune ai due rami sia un massimo o un minimo di en- 

 trambi, ovvero un massimo dell'uno e un minimo dell'altro oppure non sia 

 ne massimo né minimo di alcuno. 



Giacché nell'intorno {(^—k, a-^-k) esistono almeno i due rami reali y^ e y^, 

 così pei valori di x compresi nel detto intervallo varrà la solita formula 



Perchè per x=a y=^ sono sodisfatte le due f{x y)=o, -i- = o così lo 



ay 



saranno le due 



y—<p^{x)=o 

 y—f^{x)=o 



e per x vicinissimo ad a f^(x') e ?>,(x) assumeranno valori vicinissimi a P; 

 quindi inversamente, se si considera y variabile in un intorno {_^—h, P) (h 

 preso convenientemente), ad ogni valore di y corrisponderanno valori reali 

 di X vicinissimi ad a, se sia h piccolissimo, e che divengono eguali ad « 

 per h=o; e di siffatti valori di x ve ne potranno essere al più quattro; per- 

 chè da ciascuna delle due y — f^{x)^=o, y—f^{x)=to, ai valori di y vicinissimi 

 a p, come si sa, corrispondono al più due valori di x vicinissimi ad a. — Se 

 le due radici reali in x vicinissime ad « della y — '{>^(x)=o si hanno pei va- 

 lori di y minori di p, allora è noto, che è P un massimo di fi{x); e se al- 

 trettanto accade per la y—fi{x)=o, allora sarà P un massimo comune ai due 

 rami; se invece, così per la y — f^{x)=^o come per la y—f^{x)=o le due ra- 

 dici X vicinissime ad « si hanno per y maggiore di /3 allora è P un minimo 

 comune. 



Ma potrebbe accadere che la y — f^{x)=:o ammettesse due radici reali in x 

 vicinissime ad a pei valori di y vicinissimi a P e minori di p, e la y—f^{x)=o 

 le ammettesse pei valori di y superiori a iS ; allora /3 sarebbe massimo di 

 f^{x) e minimo di ^,(3e). 



Infine se per ?/ < p e vicinissimo a P la y — f^{x)=o ammetterà una sola 

 radice reale in x vicinissima ad a, questa radice non cesserà di esistere per 

 «/>/3; e giacché a deve essere radice multipla di ordine pari della /'(x?/)=o 

 pes 3/=/3, così dovrà accadere altrettanto per la y—?t{x)^=o; p non sarebbe 

 allora massimo né minimo di alcun ramo. — In questo caso, e solamente in 

 questo, potrebbe essere ^=1. 



Importa ora che vediamo come si possa riconoscere 1' esistenza dei due 

 rami reali y^ e y, nell'intorno del punto «=«, e come si distinguono l'uno 

 dall'altro i tre casi qui contemplati. 



La considerazione per la quale si ottiene tale distinzione è la seguente: 



Se yS è un massimo o un minimo comune , la f{x y)=o, pei valori di x 



