78 SUI MASSIMI E MINIMI DI UNA. FUNZIONE REALE 



Quindi se è t ;> s—l, ciò è sufficiente perchè le due radici h^, h^ sieno 

 reali; ma se è t<s—l, potranno essere reali o immaginarie. 



Si riconosce in ogni caso, se le /i, h^ sono o no reali , mediante la se- 

 guente osservazione : 



Perchè , per i valori di k minori in valore assoluto di un certo numero 

 positivo ko, la /"(oc+fc, P4-/i)=3 abbia reali le due radici h^, h^, i cui moduli 

 decrescono indefinitamente al decrescere di k in valore assoluto, è neces- 

 sai'io e sufficiente che sieno tali le radici del trinomio 



2 \dy'^ ì "^ (s—l)! [dx'-'dyì "*" (90! [dx'-'J 



a, P. a, p «, p 



Ammettasi che le due menzionate radici h^ h> della f{a-+-k, /2-{-h)=o sieno 

 reali pei valori di k minori in valore assoluto di un certo numero positivo 

 ko; ciò significa che preso un numero positivo Ao sufficientemente piccolo, 

 esiste un numero positivo ko tale che, se nella f[<^-\-k, p4-/i) si dà a k un 

 valore compreso tra -\-ko e — ^o, e indi tenendo fisso questo valore di k si 

 fa variare /i da -f-/to a — ho, la f{<^-\-k, d-hh) cambierà segno due volte e 

 propriamente esisterà un tratto di valori di h , pei quali la f{<^+k, /3-l-/i) 

 avrà segno contrario a quello che ha per /i=/to e per h=—ho. — E giacché 

 le radici h^, h^ divengono nulle per k=o^ così si potrà prendere il numero 

 ho piccolo come si vuole , e tale anche che richieda un corrispondente ko 

 piccolo pure quanto si vuole. 



Si sieno presi ho e ko così piccoli che la [{a-v-k, pH-/i), per h=ho e per 

 h eguale o minore in valore assoluto di ko, non essendo zero, abbia il se- 



gno del termine -^(tt)' ^^^ potrà sempre ottenersi, perchè, tenuto pri- 



«, P 

 mieramente fisso il valore di k, dando ad h valori positivi via via più pic- 

 coli si perverrà a rendere i termini in /«•*, /i* così piccoli in valore as- 

 soluto, da non avere influenza nel segno dalla f{<x-+-k, ^-hh), che verrebbe 

 così ad avere il segno della quantità 



se da questo punto in poi, si tien fermo h e se occorre, si fa impiccolire k, 

 si vede , che si perverrà a fare acquistare alla f{cc-j-k, ^-i-h) il segno del 



termine ^-(7-v) ; che sarà pure, se A; è abbastanza piccolo, il segno del 

 trinomio 



