DI UNA. VARIABILE REALE 81 



sarà quello della 



a, p ce, ^ 



dunque la f{a-\-k, ^-\-h) cambia segno nell'intervallo da +K a —h^. 



Possiamo dunque dire in generale, che la condizione necessaria e suflB- 

 ciente perchè in un intorno (« — k, a+U) esistano i due rami reali y^ e y, 

 è che si verifichi la diseguaglianza 



s—\y.]'\dx'-*dy) {2t)l\dy' j [dx^'f ^ 

 a, fi a, /3 a, P> 



Se è ^>s— 1, si vede che al decrescere di k in valore assoluto, essa fi- 

 nisce sempre coU'essere verificata; dimodoché resta così nuovamente pro- 

 vato, ciò che sapevamo, che esistono allora i due rami reali 2/, e «/,. 



Se è t=s—l, essa diviene 



1 / d-f Y 4 id'f\ idyn 



[{s-m\dx-'dy) [2t]\ \dy'-j \dx''ì^ 



a, p «, p a, p 



Se è t<is—\, e si fa jo=s — 1— ^, si riduce all'altra: 



k^p I d'f Y A /^v\ lfl\ 



Ws-mAdoc'-'dy) {2iy.W I \dx'' ) ^° 

 «, P «, P «, P 



se /— ^\ e (—1 sono di segni contrari, allora essa è sempre verificata, 

 \dy* I \<i^^f 



a, /3 a, (5 



se sono di segno eguale, il decrescere di k in valore assoluto finirà sem- 

 pre col non esserlo. 



Quando, sia per t=s—l sia per f<s—l, la condizione rispettiva non è 

 verificata, il sistema x=a, t/=p costituisce un sistema isolato di valori reali 

 che sodisfano la f{x y)=^. 



Ponendoci dunque nel caso che ?/, y, reali esistano, ricerchiamo i segni 

 delle h^ e /i,. 



Giornalt di Scienzt Hat. ed Eeon., VoL XIT. 12 



