82 SUI MASSIMI E MINIMI DI UNA FUNZIONE REALE 



Questa ricerca sarà subito fatta fondandoci sulla osservazione seguente : 

 se si chiamano h\ h\ le radici del noto trinomio, esse per k=o divengono 

 infinitesime rispettivamente degli stessi ordini di h^ e h^, e le differenze 

 \—ìi\, h^—h\, e solo esse lo divengono di ordine rispettivamente superiore 

 a quello di h^ e di h<^. 



Cominciamo col caso in cui è ?>s — 1 cioè «, <at; allora, come si sa, è 



a^=S — 1 e a^=t—S-hl. 



Se si indicano con a\ a', gli ordini rispettivi degli infinitesimi di h\ e 

 h\, si ha a\-{-a^=2t, e per essere ^>s— 1 «', a\ non potranno essere eguali; 

 e se a\ è il minore, sarà a\=s—l, e quindi a',^?— s4-l. 



Si consideri ora t<.s — 1; ciò porta a,=:aj e anche «',=«',: quindi mani- 

 festamente 



Deriva di qui intanto che h^ — h\ e \—h\ non possono per h=o divenire 

 infinitesime di ordine inferiore rispettivamente ad a, e ad «,. 



Ciò posto, si riprenda il primo caso in cui è tys — 1; nella f(a-+-k, p4-/i)=o 

 che è identicamente sodisfatta, se a A; si danno valori pei quali esistono le 

 radici reali h^ h^, eh rappresenta appunto una di queste , indicando « la 

 differenza tra h\ e una di esse pongasi h\-he in luogo di h; avremo : 



che si riduce all'altra 



4 »'■*■' , h'ik' , e/c-* / d'f , \ /2£/i'4-t-£«\ /d^f , , \ 







-+- 



a, 3 a, p 



dove w\, io\ significano che in to», to, ad oc e ad y si son dati 1 valori a 

 e P e /i nelle due ultime parentesi rappresenta h't-h^. — Si divida per Ai"; 

 diverrà 



1 k''** 



W ^- 



1 h' . i 1 fe-*/ d'f , \ 



a, 



