84 SUI MASSIMI K mNIMI DI UNA FUNZIONE REALE 



che per k=o diviene infinitesimo di ordine superiore ad aj=2^ — s+1; si ha 

 poi 1u—1i\=yii che, come si vede , diviene infinitesimo di ordine «1=5— ^1; 



così è manifesto che i due valori del rapporto -77- definiti dalla precedente 



per k=o sono l'uno zero, l'altro infinito. 



Quando poi sia t<.s — 1, cioè «i =«2=^ con ragionamento analogo al pre-r 

 cedente si vede subito che delle due differenze 



hi — h\, ih — h't, 



per k=o, una diviene infinitesima di ordine superiore, l'altra di ordine e- 

 guale ad a, , e che altrettanto accade per le due 



hi—h'i, hì—h'ì. 



È ora chiaramente provato che in tutti i casi si pone 



e Sf, yji divengono per k=o infinitesime di ordine rispettivamente superiore 

 a quello di h\ e h'^, mentre ciò non accade per le differenze 



hi—h'u hi—h\. 



Questo ci mostra che, quando k sia sufficientemente piccolo, i segni di 

 hi e hi sono quelli di h\ e h't. 



Siamo dunque condotti a ricercare i segni e i cambiamenti dei segni, al 

 passare di k dal positivo al negativo, delle radici h\, h\ del trinomio 



(20! Wa" j "^ (5—1 )1 \dx'-'dy) "^ 2 \d^ì 



a, p a, p a, p 



Dalle formule, che esprimono hi' h\ si vede subito che esse, quando è 

 ^>s — 1 non cambiano i loro segni, al passare di k dai valori positivi ai 

 valori negativi, se è s— 1 pari; li cambiano se è s— 1 dispari. 



Tenendo conto di questa osservazione e ricercando i segni di h\ e h\ 

 colla nota regola di Descartes, si ha immediatamente. 



Essendo 5— 1 pari e < ^ se le tre quantità 



Vdy^ / ' \dx-^ dyf ' \ dee»' / 



«, P a, p a, p 



offrono due permanenze due variazioni, P è un massimo un minimo ri- 

 spettivamente di ambedue i rami; se una permanenza ed una variazione 

 viceversa, allora è massimo di un ramo, minimo dell'altro. 



Quando s— 1 è dispari, /3 non è mai massimo minimo di alcun ramo. 



Nel caso in cui è ^<s— 1, dalle formule risolutive si vede che h't e ^'1 



