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difica la soluzione, quando il mobile M non parte dalla quiete, ma possiede 

 una velocità iniziale Vo. Prendendo il punto di arrivo A per origine degli 

 archi, chiamo s l'arco compreso fra A e la posizione del mobile M a una 

 epoca qualunque f, e a l'arco compreso fra il punto di arrivo e il punto di 

 partenza: limitandosi al caso in cui la forza F sia espressa per l'arco s, e 

 la velocità iniziale Vo sia espressa per l'arco «, si giunge facilmente al se- 

 guente risultato « perchè esista una curva tautocrona, deve essere la ve- 

 locità iniziale Vo proporzionale all'arco «, e allora la, curva, che è tauto- 

 crona nell'ipotesi che il mobile paiola dalla quiete, resta ancora tautocrona 

 quando il mobile possiede la velocità iniziale Vo- 

 li breve calcolo, che segue, è uno sviluppo del metodo indicato da Pui- 

 seux per il caso della tautocrona di un punto soggetto a un'attrazione verso 

 un centro fisso (Giornale di Liouville, 1844). 



Sia f l'accelerazione del punto M, e ft la sua componente tangenziale. 

 Il principio delle forze vive , applicato tra la posizione iniziale B e una 

 posizione qualunque del mobile dà 



v"^ — Vo^ = 2 I ftds. 

 Supponendo ft espresso in funzione di s, si ponga 



J f^ds = 'V (s) 



da cui 



t;« _ V,« = 2 [Y (a) _ Y (s). 



Sostituendo a u il valore -^, ricavando dt, e integrando fra e a, si ha 

 per il tempo T necessario per arrivare da B in A 



Per ipotesi è t'o espresso per a, quindi ponendo 



Vo' = 2 f («) 

 si ha 



T — J= /*" ^^ 



V 2 J V/(«J+^(«)-^W 



Perche la curva sia tautocrana deve essere 



