60 SOPRA GLI INVARIANTI DELLE FORME ALGEBRICHE BINARIE 



(a 6) (a 0) = (a a) (6 <3) - (6 a) (a jS) 

 si vede che il prodotto 



m n 



-T-P 



D . I 



è rappresentabile per mezzo di determinanti dei soli primi due tipi. 



Così la proprietà enunciata resterà dimostrata se riusciremo a trovare 

 un limite superiore per il grado m , al di là del quale questo prodotto si 

 esprima in funzione razionale ed intera di invarianti di grado inferiore. Ora 

 noi troveremo un limite al di là del quale ciascun termine del prodotto, 

 che è un invariante della forma 



fx, [X 2 fXn [Xm v, Vj v 3 v m 



[a a) (b a) (c «)... {I a) {a /3) (6 0) (C fi).... (I /3) = 9 



si spezza nel prodotto di due o più invarianti della stessa forma. Notiamo 

 che gli esponenti » restano determinati appena che lo siano gli esponenti n 

 in virtù delle relazioni 



|* t + *, = H -H », = =5f*m + »w = W. 



Di più ci è lecito ammettere che non si abbia per alcun valore di i : ^ì=vì, 

 giacché se ciò accadesse 1* invariante corrispondente (a a)*** (a £) v « soddi- 

 sferebbe alla condizione imposta di essere di ugual grado in a ed in /3 e 

 la forma si ridurrebbe immediatamente. 



Ciò premesso poiché le f* possono avere uno qualunque dei valori 

 0, 1, 2,..., n, indichiamo con e,- quante delle p hanno il valore i. E chiaro 

 che la forma p è perfettamente determinata dal sistema di numeri s 9 , s t ...,è B 

 che soddisfa alla relazione : 



(1) e + e, H- H- £„ —m 



ed alla relazione 



(2) 0. s + 1. i, 4- 2. e, + ... + n s„ = 0. s n + 1. £„_, + .... + w e 



che esprime essere il grado nelle a uguale al grado nelle (2. Ove fosse pos- 

 sibile determinare un nuovo sistema di numeri e' , *',,...., e'„ risp. eguali 

 od inferiori ad e , e,,..., e„ che soddisferebbe alle due relazioni: 



e' + e', + -t-H' re <m (1)' 



0. t' t + 1. ^', -+- 2. e', + ... + n i' a = 0. e'„ + 1. £'„_, + ... -+- n e' 0) (2)' 

 questo sistema individuerebbe un invariante della stessa forma di $ e che 

 sarebbe evidentemente un fattore parziale di $. 



Così noi siamo condotti a dover dimostrare che si può assegnare per m 

 un limite superiore k al di là del quale ad ogni sistema e , e,,... che sod- 

 disfa alle relazioni (1) e (2) corrisponde un sistema e' , t\,... che soddisfa 

 alle (1)' e (2)'. Ciò è sufficiente perchè per m > k la forma * ammetta un 

 fattore dello stesso grado nelle a e nelle R. 



