SOPRA GLI INVARIANTI DELLE FORME ALGEBRICHE BINARIE 61 



2. Trattiamo separatamente, per maggior chiarezza il caso di n pari e 

 quello di n dispari. Sia primieramente n = 2 v. 1 coefficienti delle e nella 

 equazione (2) che possiamo scrivere così : 



n H o + ( n ~ 2 ) £ i + ( w ~ 4 ) s « + ••• — (w-2) e„_, — n e n = 



sono tutti numeri pari; quindi dividendo per 2 e trasportando nel secondo 

 membro i termini con coefficiente negativo essa prende la forma seguente: 



(a) » e 4- 0-1) s 1 + ... + 2 e v — 2 + £v— 1 = £v+l 4- 2. £y+2 4-... 4- * e2v 



dove ora tutti i termini sono essenzialmente positivi. Consideriamo tutti 

 quei sistemi di valori delle e,- che soddisfano alla (a) e per i quali si abbia 



(6) H + Bj + ... + Ey— 1 4" *V+1 4" ... 4- S2v = 2v (v-l) + j 



dove j è un numero positivo diverso da zero. Evidentemente almeno una 

 delle e , ... ev-i, £v+i, ..., 62 v dovrà essere uguale o maggiore di * poiché 

 altrimenti la loro somma sarebbe al più 2 v (*-l); cerchiamo di determinare/ 

 in modo che in ciascuna delle due serie : 



(a) e„» f «i •••' £v — * 5 (#)i £ v+l, e H-2, ..., £2v 



almeno una delle e sia > *. 



Supposto che ciò non si verifichi per un dato sistema di e soddisfacente 

 alla (a), cosicché ps. una almeno delle (a) sia > v ma tutte le /3 siano > * 

 si ha : 



( C ) £ V +i4-2£v+2-f-... + ^£2v< (*_l)(l+2 + ... 4- ») < (v ~ 1} ! (v+1) 

 e siccome la somma delle (a) e delle (/3) soddisfa alla (6) 



e o ■+■ e 4 -f- ... 4- £v-t > 2 2/ (J/-1) +J — » (»-l) > jf + 2/ (y_l) 



ed a fortiori: 



<* £ o + (*-l) £ , + ... +2e v --2+ e v _1 > « {y-Y) + j 



Da questa disuguaglianza e dalla (e) sopra trovata ricaviamo in virtù della 

 relazione fondamentale (a) : 



f „ 1V , • = (v— 1) v (v+l) 



onde 



= v(v-l) 2 



epperò, a cagione della (6) : 



£ 4- ... -h By— | 4- £ v +l 4 ... 4- e2v = m — - s v < 2 * (2/-I) 4- 



= v (v— 1) (v+3) 

 < 2 



Concludiamo che quando e v = ed : 



«>*/•* (*-*) (*+ 3 ) 



8 bis 



v(v-l) 2 



