62 SORRA GLI INVARIANTI DELLE FORME ALGEBRICHE BINARIE 



ciascuna delle serie (a) e (/?) contiene almeno un termine > ». Siano tali 

 i due termini £ V — i, £v-h/; allora se in luogo di essi poniamo risp. e' v -i== 

 = s v _; _ j } £ ' v+ y -- £ V+ y — f l'equazione (a) non cesserà di essere soddisfatta, 

 e precisamente lo sarà da un sistema di valori delle £ non superiori ai primi 

 ma la cui somma è più piccola di m della quantità i +/. In altri termini 

 l' invariante $ sarà il prodotto di due invarianti più semplici che saranno 

 risp. dei gradi m —i —j ed i-hj. Quest'ultimo è definito da un sistema 

 di £ tutte eguali a zero ad eccezione di e,- ==y e di ^ = i. 



Ciò nell'ipotesi di e v = 0. Se £ V è diverso da zero si potrà invece sepa- 

 rare da $ l' invariante (a a> (a /3) v ad una potenza eguale ad £ v secondo 

 quanto si è notato in principio. 



Dunque per n —2v il limite superiore cercato esiste e si può prendere 



., v (v_l)( v +3) 



per esso il numero — — ^ 



3. Per n = 2 v + 1 si può procedere affatto similmente : il sistema (1) 

 (2) può anche scriversi così : 



e + e< + ... -t- £2v+l = m 

 (2 * + 1) e + (2 *-l) s t + ... + ev = ev+1 + 3 ev+2 + ... H- (2»H-1) £2v+l- 



Se uno dei due sistemi : 



e , e,, ... , Ev ed £v+l, £v+2, ... , e2v+1 



ps. il secondo non contiene un termine > 2 a -t- 1 si avrà evidentemente: 



£ V +1 +• 3 Sv+2 + ... -+- £2v+l < 2 * (* •+- 1) 2 

 di più 



£ o + e ! + ... -t- £v+1 = m — (£ V +1 + ev+2 -+- ... + 62v-H) 

 > m — 2*(a-f- 1) 



ed a fortiori : 



(2» + 1) E + (2*-l) E, + ... + EV > »M — 2*(*-f- 1) 



Dalle due disuguaglianze ottenute insieme con l'eguaglianza fondamentale 

 caviamo : 



m — 2 v [v + 1) < 2 * (* -l- l) 2 

 onde 



w < 2*0 + 1) + 2) 



e con ragionamento identico a quello tenuto sopra concluderemo che per 

 m > 2 v {» -+- 1) (j/ + 2) il sistema (1), (2) è anche verificato da valori più 

 piccoli dei numeri e , e ( , ... , e2 v +i e del numero m; e che quindi come so- 

 pra si può separare da $ un invariante rappresentato da un sistema di £ 

 tutte nulle ad eccezione di due sole la cui somma non supera 4^ + 2. 





