DEI PIANI DI UN CERTO FASCIO 34& 



guito, p. es., come già s'indicò, o in altra determinata guisa : considerando tutti 

 i piani che corrispondono agli stessi punti Sa: , Sy, S^ degli assi, qualora, fis- 

 sati soltanto i valori a e p degli angoli (x, ìj) e (s, x), si lasci completamente 

 indeterminato quello del 3° (2, y'), le loro hx ed hx' , separatamente considerate, 

 avranno sempre rispettivamente le medesime prime due projezioni; ed esten- 

 dendo tale proprietà a qualsivoglia coppia di omonime hi (cosi chiamo le due 

 hi di un piano che piglian nome da un medesimo asse) di tutti i piani che 

 soddisfano alle condizioni sopra indicate, si può enunciare il teorema seguente: 



« Se dei tre angoli degli assi di un dato sistema ohbliquo qualsivoglia, due 

 « conservano sempre costante la loro grandezza rispettiva , mentre per effetto 

 » della rotazione del piano di uno di essi attorno l'asse comune, varia solamente 

 « quella del terzo: le projezioni su tali piani, rispettivamente, delle due hi omo- 

 « nime del detto asse, di tutti i piani del fascio, come avanti determinato (22) 

 « da tre segmenti qualsivogliano degli assi, passeranno costantemente per dati punti 

 « degli stessi ; epperò allorquando si ribaltano l'un sull'altro i p. e. che le con- 

 ti tengono , desse projezioni riesciranno comuni alle indicate fra le hi di tutti 

 « i piani del considerato fascio, altrimenti, esse sono invariabili. » 



Tali sono , p. es. , di tulli i piani come sopra determinati , le projezioni 

 V e 2''' delle loro hx ed hx' per qualunque valore del 3° angolo (z, y), se re- 

 steranno costanti in grandezza gli altri due angoli (x, y) e (2, x)\ le projezioni 

 T e 3*^ delle loro h~ ed /i^-, qualunque sia l'angolo {x,y)\ e le projezioni infine 

 1^ e 0'* delle loro hy ed /«y, qualunque sia l'angolo (z, x) , se costanti sono i 

 valori degli angoli (z, x), e (z, y) nell'un caso, e quelli di (^, y) e (z, y) nell'altro. 



23. La rotazione del 2^" p. e. (z, x^, di cui precedentemente, (16), potendo 

 esser qualunque, si supponga tale che, in conseguenza di essa, il 3" angolo (z, ?/) 

 attinga valori parf.colari, pei quali riescano più semplici le già indicate costru- 

 zioni (21) per determinare le projezioni delle hi di un piano. Ciò accade se tale 

 angolo diviene quanto uno qualsivoglia degli altri due, quanto la loro somma : 

 poiché, sia per l'una che per l'altra di tali ipotesi, si sperimentano, con vantag- 

 gio della semplicità del tracciato , talune sovrapposizioni nel ril)altamento de- 

 gli assi. 



24. Se la rotazione (Tav. Ili, Fig. 2') del 2^" p. e. (z, a;) è tale che in conseguenza di 

 essa il 3° angolo (z,?/) attinge il valore a del 1° {x,y'), allora, in seguito al ribaltamento 

 eseguito come al n". 21 del 3' sul 1" p. di p., il ribaltamento dell'asse delle z, 

 che ho indicato nella figura con— Z3Z3, verrà a cadere sull' asse delle x, in 

 modo da coprirsi le parti di ugual segno di tali assi ; e le intersezioni del 3° 

 p. e. (z, y) coi p. b. H^ ed Ha;' del sistema così modificato, cadranno rispet- 

 tivar;ì.'iuo sulle diagonali M^ ed OM-^' per 0, dei parallelogrammi adiacenti 

 ed uguali che si costruiscono sui lati My , 0{Mc) ed OM.y 0(M~), ottenuti 

 conducendo arbitrariamente una parallela M.y M~ all'asse delle x, e riportando 

 poscia Mz in (#;) sul detto asse. 



