DEI PIANI DI UN CERTO FASCIO 351 



p. b. H;,. ed H;y, del sistema così modificato, non che la r^ che, analogamente 

 alle precedenti r.^ ed ì\ , si ottiene considerando i punti ove il piano dato S in- 

 terseca gli assi delle x e delle z; e similmente al già esposto (25) si trovano le 

 proiezioni 1"* e 3"" delie hy ed hy, di tal piano, avvalendosi dei punti ove la su- 

 detta r2 taglia le or definite intersezioni by e by, rispettivamente. 



28. Le bx e bx^ , by e 6y, b^ e b^, , che dirò in generale le bi del dato si- 

 stema di assi, sono rispettivamente indipendenti dall' angolo formato dai due 

 assi eteronimi, cioè, ordinatamente dagli angoli (z, y), (z, .'^;) (x, y); o, altrimenti : 

 le bx e ba;; saranno comuni a tutti i sistemi di assi che differiscono solo per 

 r ampiezza del loro 3° angolo (z, y); le by e by, a tutti quelli differentisi solo 

 pel 2° (z, xy. le è^ e b-/ comuni infine a tutti quelli che differiscono soltanto 

 pel valore dell'angolo (x, y). 



29. In riguardo alle }\, rg, r.^ di un piano dato S (dette, in generale, le 

 sue Vi ) emerge dalla loro determinazione (25-26-27) come ciascuna di esse di- 

 penda rispettivamente, oltreché dai segmenti di due degli assi, da uno soltanto 

 dei loro angoli; risultando per altro affatto indipendente dagli altri due : si com- 

 portano cioè rispettivamente come tracce di piani , dalle quali , in fondo , esse 

 ripetono la loro origine. Così p. es. la r^ non è altro che la 3^ traccia di un 

 piano, in un sistema particolare (disogonico) di assi ecc. ; epperò essa dipende, 

 oltreché dal valore dei segmenti OS- ed OSy degli assi delle z e delle y. anche 

 dall' ampiezza dell' angolo (x, y); o, in altre parole : una medesima r^ sarà co- 

 mune a tutti i piani che intercettano rispettivamente gli stessi segmenti sugli 

 assi delle z e delle y, in tutti i sistemi pei quali è comune il valore dell' an- 

 golo (x, y) ecc. 



30. Importa infine rilevare come nella precedente ipotesi , che fosse cioè 

 l'angolo (z, y) eguale a quello {x, y) il cui valore è a , non si é tenuto conto 

 delle risapute condizioni della possibile esistenza o no dell' angolo triedro che i 

 tre assi coordinati formano nello spazio , subordinatamente alle ampiezze delle 

 sue facce (angoli degli assi) ; dapoiché comunque , nel caso delle indicate ecce- 

 zioni , tanto le bi che le rt , relative, rispettivamente, al sistema di assi ed al 

 piano considerato, non possonsi più ritenere, né le prime come intersezioni dei 

 p. b. coi p. e, né le altre come tracce di un piano : è purnondimeno ben fa- 

 cile il mostrare che le costruzioni all' uopo indicate, per determinare le proje- 

 zioni delle sue hi , non cadranno mai in difetto. 



31. Se invece, la rotazione del 2" p. e. {z, x) attorno l'asse delle x. è tale 

 che per suo effetto l' angolo (z, y) degli assi, pur proseguemio ad essere minore 

 della somma a -j- p dei valori degli altri due angoli (x, y) e {z, x) del sistema, 

 ossia di ZOX -\- XOY, ne differisca infinitamente poco: conducendo allora ar- 

 bitrariamente una parallela, p. es. la M.yMs all'asse delle a;, la diagonale Oi/"^' 

 del parallelogrammo costruito sui segmenti ch'essa determina, a partire dall'o- 

 rigine, sugli assi delle y e delle z , è infinitamente vicina all' intersezione del 



