DEI PIANI DI UN CERTO FASCIO 858 



35. É ovvio rilevare, infine, elio i due metodi altrove esposti (25 e 31) per 

 determinare le pr. ì)ar. delie hi di un piano, non sono altro che l'applicazione 

 a casi particolari del metodo generale (18) ove si adoperano le hi e le Si , ri- 

 spettivamente vere intersezioni e vere tracce relative ai p. b., ai p. e. ed al piano 

 S, nel dato sistema iniziale di assi non modificato ; ed è chiaro pertanto come 

 i primi riescano assai più semplici di quest' ultimo. 



36. È quasi inutile notare die. siccome due p. di p. qualsivogliauo e i due 

 p. ì). del loro angolo diedro , formano un lascio armonico , così qualunque se- 

 zione che ne attraversi l' asse, darà quattro raggi armonici; epperò, le coppie di 

 omonime bi , di ^j o di b( saranno, rispettivamente, raggi conjugati di un fa- 

 scio armonico, del quale gli altri due raggi coniugati cadono ordinatamente su 

 due assi coordinati del sistema inalterato, nel primo caso, o in seguito ai con- 

 siderati loro ribaltamenti (24 e 31), negli altri due casi. (*) 



87 . Indipendentemente dal teorema (22) e dai conseguenti metodi esposti (25, e 31) 

 nonchedella costruzione piùavanli cennata(18)si può, colmczzo di facili considera- 

 zioni di simmetria, determinare altrimenti le proiezioni lìaralleledelle/*; di un piano, 

 p.es. le prime due delle sue hx ed hx' '• infatti è ovvio che piani fra loro simmetrici ri- 

 spetto ad ììj; ad H^' hanno, i primi la hj, e gli altri la h^' in comune; ed è fa- 

 cile dedurli 1' un dall' altro, in ciascuna di tali coppie, dapoiché le eteronime 

 fra le loro prime due tracce sono scambievolmente simmetriche, ordinatamente 

 rispetto agli anzidetti p. b. Quindi, in seguito al ribaltamento consueto del 1° 

 sul T p. di p., desse riesciranno, nel primo caso, simmetriche rispetto all'asse 

 delle X e sovrapposte invece nell' altro ; nel qual caso peixiò basta scambiarne 

 reciprocamente le denominazioni. 



Dei suindicati piani ho designato con S* quello simmetrico al dato S, per 

 rispetto ed Ha; e con S*' il simmetrico per rispetto, ad H»' , adoperando rispet- 

 tivamente analoghe notazioni per le loro r^^ ed t^ ; le quali tagliano ordinata- 

 mente quelle del considerato piano S in punti delle b^j. e, h ^ , ^ai e b^,, del 

 sistema di assi adottato ; e queste potrebbero quindi determinarsi solo per tali 

 considerazioni, indipendentemente dai metodi altrove esposti (24 e 31). 



38. Gli assi bisettori di un sistema di p. e. altro non sono che le interse- 

 zioni rispettivamente de' suoi p. b.; ma possono ancora considerarsi come luo- 

 go dei punti egualmente distanti dagli assi o dai p. e. del dato sistema. Le le loro 

 pr. par. si determineranno però facilmente: giacché l'una d'ognuno di essi coin- 



(•) E che ciò sia vero, anche nel caso delle eccezioni altrove indicate (30), si di- 

 mostra, indipendentemente dal considerare la sezione del fascio di piani, invocando 

 un' elegante proprietà del parallelogrammo^ clie, cioè, due qualsivogliano de' suoi Iati 

 consecutivi, la diagonale che concorre con essi e la parallela del loro vertice comune, 

 guidata all'altra diagonale sono quattro raggi armonici. In modo più generale ciò ri- 

 sulta ancora dal considerare, in ognuna delle già cennate determinazioni (24 e 31), la 

 posizione dei vertici di taluni quadrilateri completi, rispetto agli anzidetti raggi. 



Giornale di Scienze Nat. ed Econ., Voi, XVIII. 43 



