DEI PIANI DI UN CEUTO l'ASClO 355 



41. Resta ora dimostrato (40) quanto si disse altrove (6j che cioè il vertice 

 w4*' e i lati per esso del parallelogrammo (^,.9) rappresentano rispettivavamente 

 le prime due tra ce sovrapposte e le prime due projezioni della «-»' condotta pel 

 punto A dello spazio normale al p. b. H.^., ; ed or si aggiunga inoltre che le antipa- 

 rallele, per rispetto all'asse delle t, condotte da .4' e da A" rispettivamente agli 

 assi delle z e delle y (ribaltato), rappresentano del pari le piime due projezioni 

 della ìix normale pel detto punto A al p. b. H^; e le tracce corrispondenti 

 riesciranno, com' è chiaro , fra loro simmetriche, per rispetto alTanzidetto asse 

 delle X. e sulla perpendicolare ad esso condotta per iP' : infatti le due normali 

 per A ai p. b. anzidetti individuano un piano che è perpendicolare all' asse 

 delle x ecc. (*) 



42. Ed ora ecco i più notevoli casi particolari di cui al precedente n°. 40 



a) Se un piano (Tav. IV, Fig. l"") taglia in punti equidistanti da quello delle x, 

 gli assi delle y e delle 2, la sua ^3 risulterà necessariamente parallela alla boir del si- 

 stema ("24,25) e quindi le prime dnc projezioni li',, ed h"x' della sua //«?', ri- 

 spettivamente parallele agli assi sudelti. 



b) Di un piano *S (Tav. IV, Fig. 2) che ha la seconda traccia parallela al- 

 l'asse delle 3, sarà la Vj parallela alTasse delle x, e quindi coincideranno colla 

 sua prima traccia le prime projezioni delle sue *//.„ ed 'hr: , dalle quali sarà 

 facile dedurre rispettivamente le seconde. 



Di un piano S invece, che ha la prima traccia parallela all'asse delle y, sarà 

 anche tale la r^ , e coincideranno però colla seconda traccia le seconde proiezioni 

 delle sue hg, ed ha;', dalle quali si dedurrano tosto le corrispondenti prime 

 projezioni. 



e) Se un piano ha le prime due tracce sovrapposte, ne segue che essendo 

 esso perpendicolare ad Hy, anche tale sarà la sua h^: e quindi la sua h'^e 

 parallela all' asse delle z e la h"x a quello delle y; mentre invece, se le prime 

 due tracce di un piano fossero simmetriche (per rispetto all' asse delle x) sarà 

 la sua hjs' normale com'esso al p. b. H^ ; epperò le projezioni h'a;, ed k"^,> ri- 

 sulterebbero rispettivamente antiparallele (41) agli assi delle y e delle z. 



43. I punti ^i , che una retta ha comuni coi p. b. si potrebbero determi- 



(•) Parimenti il parallelogrammo sui lati OB' ed OB" (Tav. II) rappresenta il 

 parallelogrammo deformato (JB''',) relativo al punto B^»' altrove considerato (12) della 

 retta comune ai piani {s, rj) ed Ha;' ; il suo vertice s'^', rappresenta le tracce sovrap- 

 poste della ucB' normale per Ba;' ad TAx' ed anclic tali, in questo caso, saranno e gia- 

 centi addippiù sull'asse delle x, quelle delle jix guidata per tal punto normalmente 

 ad H.2; . Notazioni simili avremmo quindi potuto adottare pel parallelogrammo 

 Bse'—B' OB" disegnato nella Tav. Ili, (Fig. 2*); ma si rifletta che desso, in virlù della 

 ipotesi y = a -f p, può anche intendersi come il ribaltamento, nella sua vera forma, 

 del parallelogrammo proiettante B". relativo al considerato punto B-»' ecc. 



