DEI PIANI DI UN CKHTO FASCIO 357 



Considerazioni analoghe intorno al piano individuato dalla Ha:' (normale per 

 ^x' di g ad Ho;') e dalla hx' di pS-*' , permettono di determinare assai facil- 

 mente le proiezioni n' x' ed n"x', e indi quelle rispettivamente omonime di ^x' • 



d) Facili considerazioni di simmetria, già altrove connate (37) ci forniscono 

 ancora un'elegante soluzione del quesito. Infatti le rette gg, e gx' simmetriche 

 alla data g, la prima per rispetto al p. b. H.x e Taltra rispetto ad Ha;', danno 

 per intersezione con essa i punti ^^ ed 4«' ^^cc. 



e) Anche le bx e bx' del dato sistema di assi possono adoperarsi allo scopo. 

 Infatti tanto la G{P) che la (T)Q (le quali altro non sono rispettivamente che 

 le r-i ed r"'., del già considerato piano ^S^) si taglieranno sulla b^' in B, e la 

 prima [interseca inoltre in jS, la bx'-, or basta congiungere 5^' rispettivamente 

 con B.z: e By (punti ove gli assi delle z e delle y sono tagliati dalla parallela 

 all'asse delle x condotta da B) onde ottenere le prime due projezioni della h^'^ 

 di f;S* e quindi quelle rispettivamente omonime di 4cc'- 



Analogamente la parallela alla —XX guidata da jS, , ci dà due punti sugli 

 assi delle y e delle z (l'ultimo dei quali però da riportare sulla parto negativa del- 

 l'asse) le cui congiujigeuti con SI danno rispettivamente le prime due projezioni 

 della hx di qS^ e indi quelle rispettivamente omonime di ^x ecc. 



/j Ed in ultimo, se dal punto R (comune alle parallele guidate agli assi delle 

 y e delle z da S'2 ed .S'i rispettivamente) si projelta il punto L comune alle 

 g' e g" , sopra l'asse delle x in /{, le parallele condotte da quest'ultimo agli 

 anzidetti assi, taglieranno rispettivamente le prime nei punti ^' x' ed ^"x'\ i'i 

 fatti si tengano presenti le proprietà dei punti del ]). b. Hx' e la omotetia, ri- 

 spetto al centro L. dei triangoli RS'g'S'", e li^ x'^' x' • 



44. Si comprende facilmente come le varie costruzioni indicate nel prece- 

 dente n°. 43 per determinare i punii 4'; t1i una retta, debbano divenire assai 

 più semplici qualora si riferiscano al noto sistema ortogonale di projezione pa- 

 rallela; anzi talune di. esse, come si potrà verificare in seguito, si fondono ad- 

 dirittura in una sola. 



45. Un asse di affinità di un piano può intendersi proveniente, com'è noto. 

 dalla sovrapposizione di due delle projezioni di una delle sue ht : ora perchè 

 ciò abbia luogo è necessario e sufficiente che nel sistema considerato siano e- 

 guali almeno due degli angoli dei suoi assi, e che addippiù il ribaltamento sia 

 tale da farli coincidere tra loro; opperò rilenendo il consueto ribaltamento dei 

 p. e. dei sistema, importa considerare i seguenti casi : 



a) Se è p. es. ZOX = XO Y, ossia se è a = p, è ovvio, tenendo presente la 

 loro determinazione generale (31) , che le bx, e bx del sistema cadranno , in 

 questo caso, rispettivamente sulle bisettrici dell'angolo che l'asse delle z fa con 

 quello delle y ribaltato, la prima nella regione ove i segni degli assi sono oppo- 

 sti e l'altra in quella ove tali segni sono uguali; epperò l'ultima coinciderà ne- 

 cessariamente coH'asse delle x. Similmente per le hx e /<.£' del sistema e le hi- 



