858 UN TEOREMA SULLE h^ 



settrici deiraiigulo che l'asse delle x fa col sudetto ribaltamento dell'asse delle 

 // : infatti le due coppie di parallelogrammi di cui altrove (24 e 31) che servivano 

 a determinare rispettivamente sia le b^. e baj' non che le ba> e bg,' , prendono ora 

 la forma particolare di rombi ecc. 



Si noti pertanto come in questo caso , le prime due proiezioni , separata- 

 mente fra loro considerate , di ciascuna delle /tj, ed ha;' di un piano qualsivo- 

 glia, dovendo tagliare gli assi delle y e delle z (nelle loro regioni d' ugual se- 

 gno per le prime, ed in quelle di segno opposto per le altre) in punti equidi- 

 stanti dall'asse delle x, risulteranno simmetriche rispetto a questo le h'^^ ed h^. 



lì) Se sono invece supplementari gli angoli ZOX ed XOY ossia j3 ed a. al- 

 lora per le già cennate ragioni . è chiaro che le prime due projezioni della hxr 

 del piano S si sovrapporranno nella h'^', che è l'asse di affinità delle prime due 

 projezioni di una figura qualsivoglia in osso contenuta. Inoltre i lati di ciascuno 

 dei due parallelogrammi relativi alle ba? e bge' coincidono ora colla retta ove si 

 sovrappongono gli assi delle z e delle y (ribaltato), sulla quale cade quindi anche 

 la hx'\ Inentre la bx (ora corrispondente alla diagonale nulla dì uno degli an- 

 zidetti parallelogrammi) può sempre intondei'si allogata, in direzione, sull'asse 

 delle X. Parimenti è ovvio come le Z>^' e b,n cadranno rispettivamente sulle bi- 

 settrici dell'angolo (2, x): la prima nella regione ove tali assi hanno lo stesso 

 segno, e l'altra in quella ove i loro segni sono apposti; giacché i parallelogrammi, 

 di cui altrove, si sono ora trasformati in rombi. 



Si noti infine come non esista invano differenza fra i casi a) e b] ora stu- 

 diati ; dapoichc basta invertire il senso del ribaltamento considerato perchè si 

 scambino fra loro reciprocamente i risultati dell'uno in quelli dell'altro e vice- 

 versa. Così operando infatti l' asse di affinità da notarsi ìt,%' si otterrebbe ora 

 nel caso a) e non già, come prima, nel caso b) ove le projezioni h! a-., ed hi'x' 

 della ha:' riescirebbero invece, non più sovrapposte, ma semplicemente simmetri- 

 che fra loro, per rispetto all'asse delle x. 



e) Se, in ultimo, si tratta di un sistema isogonico di assi, è facile determi- 

 nare in che modo debbasi eseguire il ribaltamento dei p. e. onde ottenere due assi di 

 affinità delle projezioni. due a due convenientemente considerate di una figura piana 

 qualsivoglia. Masi supponga invece, onde non modificare il consueto ribaltamento, 

 che si abbia a=y = 180°-P, si possono ottenere allora due assi di affinità /*"•', ed 

 h",'"i quali si tagliano necessariamente sulla bisettrice dell'angolo ZOX, nel punto 

 H.'f"'"\ giacché con tale bisettrice coincidono le tre projezioni dell'asse bisettore/y 

 del sistema: inoltre, in questo caso, coincidono con tale bisettrice la bx' iion che 

 le projezioni ìf^, , /^'', /^'j- ecc. 



Se è invece a == ^ = y , bisogna allora invertire il senso sia dell' una che 

 dell'altra delle due rotazioni che occorrono nel precedente ribaltamento , onde 

 ottenere i due assi di affinità che verrebbero ora notati A'-" ed /i"/". 



46. Se un sistema isogonico di assi è inoltre ortogonale (Tav. VI) è ovvio 



