DEI PIANI DI UN CERTO FASCIO 339 



che le hx e ba?/ coincideranno rispettivamente cogli assi delle x e delle z, e colle- 

 bisettrici del loro angolo le bai e bx' 1' ultima nella regione ov'essi hanno segno 

 uguale. Inoltre di un dato piano S le r, ed r, risulteranno ordinatamente sim- 

 metriche alle sue tracce (ribaltate) s^ ed s, , la prima rispetto alla bisettrice 

 OBx< e la seconda rispetto a quella OBa; dell'angolo sudetto; e i punti Bas' e B.^ 

 di tali bisettrici, ove ordinatamente si tagliano le r-^ , s^ ed r, , s, projettati rispet- 

 tivamente sugli assi , danno i punti B"^'f e B'-'," le cui congiungenti rispettiva- 

 mente con Sx ed ^S'^ sono gli assi di aflìnità h'I^, ed h',,'" dei piano S. 



47. I quali assi di aflìnità, di cui al precedente numero, debbono necessaria- 

 mente tagliarsi sulla OB^c' , come già si disse (n. 45) in B'y"-'"; e le proiezioni 

 degli altri punti H, del piano considerato S si attengono facilmente, considerando 

 le intersezioni delle sue Ih convenienteiuente scelte , coni' è indicato nella ta- 

 vola VI (Fig. 1"). 



48. L'antiprecedeute n. 46 contiene la soluzione del quesito : date le tracce 

 di un piano, trovarne gli assi di affinità; ed è ovvio come le considerazioni ivi 

 occorse, sol che si imagini invertito l'ordine delle costruziani, reggono del pari 

 per risolvere il problema inverso , dati cioè i due assi di aflìiìità di un piano, 

 disegnarne le tracce ecc. 



49. Anche la ricerca dei punti ^i di una retta diviene assai più semplice 

 nel caso del sistema ortogonale (Tav. VI, Fig. T) e le varie costruzioni già in- 

 dicate (43) pel caso generale (di cui talune, come già si disse, si fondono in una 

 sola) facilmente si apprendono dalla semplice ispezione della figura, chiarita per 

 altro da numerose indicazioni appostevi. Così p. es. è evidente che le prime due 

 projezioni del punto ^a?' di una data retta g debbono risultare sovrapposte e 

 coincidenti col punto comune alle prime due projezioni di essa ; che l'asse di 

 affinità h'^', del piano gS-'^ debba ora riescirc perpendicolare all' asse delle x, 

 giacché la sua terza traccia e la sua r^ (entrambe a 43° cogli assi delle z e 

 delle y) saranno parallele fra loro ed alla bx'', quindi s' incontreranno all' in- 

 finito ecc.. Con tale asse di affinità coincideranno le prime due projezioni so- 

 vrapposte della rix' per ^x'-- (40). Le prime due projezioni invece della hx 

 di r,S^' (piano normale per la g ad Hx) comechè entrambe perpendicolari al- 

 l'asse delle X nel punto ^J', e quindi fca loro in diretto, non costituiscono, come 

 è chiaro asse di affinità: giacche in esse i punti corrispondenti non coincidono 

 con sé stessi, ma sono semplicemente simmetrici rispetto all'asse delle ,r. Simil- 

 mente dicasi delle prime due projezioni della n^ normale ad Hx e passante 

 pel punto ^x della considerata retta g. Però sia le une che le altre di tali 

 projezioni permettono di determinare facilmente i punti ^'j. ed ^^ prime due 

 projezioni di ^^; i quali per altro potrebbero anche determinarsi come inter- 

 sezioni rispettivamente delle p' e g" colle projezioni rispettivamente omonime 

 della gx simmetrica alla g per rispetto al p. b. Hx ['^3, d)]. 



È ovvio infine come nel caso attuale il punto R [43,/)] si possa intendere 



