Optische Untcrsuchtmgsmethoden. 67 



punkten, also nicht mit Zirl<el und Lineal allein konstruierbar. Hat die Kugel den Scheitel des Kegels zum 

 Mittelpunkt, dann ist die Kurve symmetrisch zu drei Ebenen. Je zwei zu der Ebene sjmimetrisch gelegene 

 Punkte haben daher dieselbe Projektion und die Raumkurve projiziert sich dann als Kegelschnitt (Kurve 

 zweiter Ordnung), der eigentlich doppelt zählt, da jeder Punkt die Projektion von zwei Raumpunkten 

 ist. Doch tritt nicht notwendig der ganze Kegelschnitt auf, sondern teilweise nur Stücke desselben. 

 Die Bestimmungsstücke der Kegelschnitte ergeben sich durch folgende Rechnung. 



Ableitung der Gleichung des Kegels. 



In Figur 5 ist Oxyz ein orthogonales Koordinatensystem, OA, OB die in der Ebene Oxz gelegenen 

 Brennstrahlen (die optischen Axen), deren Winkel mit 2 := F, OS eine Seite des Kegels, für den 



und 



cp' + (p = 2a konstant ist mit der Bedingung a > V. 



OS bilde mil Ox den Winkel X mit Oy <$1 [x mit Oz <^v 



Gebildet » » » » 90— F » » 90 » » V 



OB » » » » » 90+ F » » 90 » » —V. 



Daher ist: 



cos tp = cos X.cos (90— F) + cos [i cos 90 + cos v cos V 

 cos tp'= cos X.cos (90+F) + cos [j, cos 90 + cos v cos ( — V) 

 oder 



cos cp := cos X sin V + cos v cos V | 

 cos 'f'=: — cos X sin V + cos v cos V ] 



Aus 2 7.= 'f + tp' folgt: 



oder 



und ausgeführt: 



cos 2a ^= cos (tp + tp') z= cos tp cos tp' — sin tp sin tp' 

 (cos 2a — cos tp cos cp')^ := sin^ cp sin^ tp' 



1) 



cos ^ 2a— 2 cos 2a cos cp cos tp' := 1 — cos^ tp — cos^ y '. 



Führt man nun für cos tp und cos cp' die Werte aus 1) ein, so folgt: 



— l+cos^ 2a =: 2 cos 2a (cos^ v cos'^ F— cos^ X sin^ F) — 2 cos^ X sin^ F— 2 cos^ v cos^ F, 



oder da 



— l+cos2 2a^ — sin- 2a 

 — 4 sin- a cos^ a ^ 2 cos^ F cos- v (cos 2a— 1) — 2 sin- F cos^ X (cos 2a+ 1) 

 cos 2a— I =: — 2 sin^ ct., 

 cos 2a + 1 = 2 cös^ a, 

 sin^ a cos^ a = cos^ v cos- F sin- a+cos^ X sin- F cos^ a 2) 



Ist a, Fig. 5, ein beliebiger Punkt der Kegelkante OS mit den Koordinaten x,y, z, so wird 

 X y 



cos X =: — . COS U. ^ , COS V 



sjx'^+y^^^z^ s^x^^y^+z^ \/x''+y^ + z^ 



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