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Systeme, das eine alternironde, mit der Divergenz */«} ""J 

 das andere gekreuzte, ein Quirlsystcm , welches aas der ge- 

 doppelten Distiche besteht. 



Für fünf Verticalen sind 2 Systeme mit den Winkeln 

 1/.., 2/.. möglich. 



In dem Falle von 6 Verticalen finden sich drei Systeme; 

 das eine alternirende mit der Divergenz ^/g, zwei Quirl- 

 systemen ; das dreifach verbundene der Distiche, und die ge- 

 doppelte Tristiche. 



Für sieben Verticalen können sich drei alternirende Sy- 

 steme mit den Winkeln ly^, ^j^ , ^j^ vorfinden, und so bis 

 ins Unendliche fort. 



C. Dritte Mctliode. — Vermittelst der beiden vorigen 

 Methoden gelaugt man nur zur Kenutuiss der gcradreihigen 

 Systeme, oder der Divergenzen, welche mit dem Umfange 

 commeusurabel sind. Um sie zn vervollständigen, müsste 

 man die unendliche Pteihe der Systeme mit irrationalen Diver- 

 genzen hinzufügen. Diese dritte Methode wird uns die Mittel 

 gewähren, um diese Lücke auszufüllen. 



Wir sind zur Kenutuiss eines ersten irrationalen Win- 

 kels gelangt, nrimlich des Winkels von 137° 30' 28'', Indem 

 wir an derselben oder an verschiedenen Pflanzen die hervor- 

 sleheudeu Blattspiralcn, welche immer eine rücklaufige Reihe, 

 deren Zahlen 1, 2, 3, 5, 8, 13 .... sind, unter einander 



verglciclicn. Wir haben gesehen, dass, wenn man die Blät- 

 ter 2, 3, 5,8, 13 ...... in der Verticale stehend annimmt, 



wir zur Divergenz ihrer Gritndspirale die Bruchreihe Y25 '/s) 



2/-, 3y^g, '»/,3 , welche die successiven (jUeder (reduites) 



des continulrllcheu , periodischen Bruches y.2 + Vi "^ Vi "^ 



1^', 4- Y, 4- sind. Wie aber alle Male, wenn die ZabI 



der Blätter wäclist , der Bruch, welcher die Divergenz ab-, 

 misst, sich drtn letzten Ausdruck dieser Reihe aunähcit, so 



