EphemeridenrecTmung mittelst numerischer Integration. 



IQ 



IL 



Die Methode der numerischen Integration kann zunächst auf eine Gleichung angewendet werden, 

 die den Radiusvektor als Funktion der Zeit definiert. 



Führt man in die Gleichungen des Zweikörperproblems 



d 2 x 79 x 



h k 2 — = 0, 



dt 2 r 3 



die Polarkoordinaten r und v ein, so wird daraus 



cos v 



sin v 



d 2 r_fd v\ 2 

 dt 2 [dt 



d 2 r fd v 



dt 2 [dtj 



sin v 



+ COSf 



dt 2 r 3 



n dr dv d 2 v 



2 — . 1- r — 



dt dt dt 2 



' dr dv d 2 v 



2 — . V r — 



dt dt dt 2 



COS V=zO 



li 2 

 -\ sin v — 



r 2 



woraus einerseits 



d 2 r_ fdvV ¥<_ 

 dt 2 r \dt r'' 



dv 



andrerseits der Flächensatz folgt. Eliminiert man mit Hilfe des letzteren — , so erhält man 



dt 



d 2 r k 2 p k 2 

 -H = 



dt 2 r 3 r 2 



also eine Gleichung in r allein. 



Denkt man sich nun für eine Reihe von äquidistanten Argumenten t die Werte der Funktion 



d 2 r 



f- 



dt 2 



gegeben und die Differenzen- und Summenreihen in entsprechender Weise gebildet, so ergibt sich der 

 Wert des Doppelintegrals r aus 



r = <a* 



n f+ 



1 



1 



-7 11 + . . . . 



12 \dt 2 ,' 240 

 wo mit to wieder das konstante Argumentintervall bezeichnet sein soll. 



d 2 r 



Im Verein mit der obigen dynamischen Gleichung läßt sich daraus sowohl — als auch r bestimmen, 



dt 2 



d 2 r 

 wenn die Größen lI f,f n ,. . . bekannt sind. Angenommen, es sei — und r für das Argument t + (i — l)o> 



dt 2 



bekannt, so folgt daraus der Wert u f (t + zw) und damit auch die einzige Größe, die zur Auswertung von 



d 2 r 



— und r für das nächste Argument t + im notwendig ist. Bei dem relativ engen Intervall einer Epheme- 

 d t 2 



d 2 v 

 ridenrechnung werden die zweiten Differenzen von — mit Rücksicht auf den kleinen Koeffizienten wohl 



dt 2 



immer zu vernachlässigen oder in besonderen Fällen mit ausreichender Sicherheit zu extrapolieren sein. 



d 2 r 



Die Elimination von — aus den beiden Gleichungen ergibt unter diesen Umständen 

 dP 



