§ i. Einige Sätze über Nichtquaternionsysteme. 



Betrachten wir ein Nichtquaternionsystem in n ■+■ 1 Einheiten mit einer idempotenten Einheit, und 

 streichen wir die letzte, das heißt die idempotente Einheit, so bekommen wir ein sogenanntes null- 

 potentes System in n Einheiten, weil von jeder Zahl des Systemes jede u+ l te und folgende Potenz 

 gewiß gleich Null ist. Dieses System ist assoziativ, hat aber natürlich keinen Modul, weil jede Zahl 

 Teiler der Null ist. Umgekehrt läßt sich ein solches System durch Adjunktion einer idempotenten Einheit 

 zu einem Nichtquaternionsystem vervollständigen. 



Eine Eigenschaft, die einigen Zahlen eines Zahlensystems zukommt, gleichgültig in welchen Ein- 

 heiten das System geschrieben ist, nennen wir eine charakteristische Eigenschaft dieser Zahlen; eine 

 Eigenschaft, die dem System selbst zugehört bei jeder Wahl der Einheiten, die also für alle äquivalenten 

 Systeme besteht, heißt eine Charakteristik des S}>-stems. 



Üben wir auf m lineare Formen vom Rang r eine lineare Transformation aus, so bleibt der Rang r 

 erhalten. Wir können also sagen: 



SATZ I. Die Anzahl der Zahlen eines Systems die linear unabhängig sind und eine charakteristische 

 Eigenschaft besitzen, ist eine Charakteristik des Systems. 



So ist zum Beispiel eine Charakteristik die Anzahl der unabhängigen Zahlen, die idempotent 

 sind; für nullpotente Systeme die Anzahl der unabhängigen Zahlen, die zu allen anderen Zahlen des 

 Systems nullfaktorial sind, das heißt zum Produkt geben; für alle Systeme die Anzahl unab- 

 hängiger Zahlen, die mit allen anderen multipliziert lineare Formen von einigen gut fixierten Zahlen des 

 Systems geben; usw. 



Eine Eigenschaft soll additiv heißen, wenn sie sich für die Summe reproduziert, falls sie für die 

 einzelnen Summanden besteht, wenn also das vollständige lineare System der betrachteten Zahlen wieder 

 dieselbe Eigenschaft hat. 



SATZ II. Wählen wir in einem System die größte Anzahl (r) unabhängiger Zahlen, die eine bestimmte 

 charakteristische Eigenschaft besitzen, als Einheit, so ist jede Zahl des Systems, die diese charakteristische 

 Eigenschaft hat, eine lineare Form von nur diesen Einheiten und, falls die Eigenschaft auch additiv ist, 

 so bilden die Zahlen mit dieser Eigenschaft das vollständige lineare Formensystem der betrachteten 

 Einheiten. 



Der Satz ist an sich klar, denn, wenn noch eine Zahl existierte, die sich durch die erwähnten Ein- 

 heiten nicht darstellen ließe, so würde der Rang r+1 und nicht r sein. Daraus folgt ohne weiteres: 



SATZ III. Sind in zwei äquivalenten Systemen die unabhängigen Zahlen mit einer charakteristischen 

 Eigenschaft (wie in SATZ II) als Einheit gewählt, so kann in den Überfiihrungstransformationen eine Ein- 

 heit des ersten Systems nur aus den Einheiten des zweiten Systems bestehen, die dieselbe charakteristische 

 Eigenschaft besitzen, und umgekehrt. Diese Einheiten können sich also nur untereinander transfor- 

 mieren. 



Beispiele für charakteristische additive Eigenschaften sind: das Nullfaktorialsein in bezug auf alle 

 oder auf einige gut fixierte Zahlen des Systems (auch nur links oder nur rechts); die Kommutativität, die 

 Alternativität (ax— — xa); die Eigenschaft, daß axz=.a.xa (a konstant) in bezug auf alle oder nur einige 

 fixierte Zahlen; die Eigenschaft, daß sich alle Produkte einer Zahl als lineare Formen von einigen 

 fixierten Zahlen darstellen lassen usf. Idempotente Zahlen sind charakteristisch, aber nicht additiv. So 

 ist auch charakteristisch die Verteilung der Einheiten in Gruppen von Peirce und Hawkes (vergl. zum Bei- 

 spiel Hawkes, Trans, of the Am. Math. Soc, Bd. II, 1902), wovon später die Rede sein wird. 



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