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Dr. Guido Voghera. 



Diese so selbstverständlichen Sätze erlauben mir eine Einteilung der nullpotenten Systeme vor- 

 zunehmen, die sich für die Aufstellung sehr nützlich erweisen wird, und führen zu einer Normalform, 

 aus welcher der Aufbau der Systeme klarer hervortritt. Es ist nicht ausgeschlossen, daß man durch eine 

 ähnliche Methode auch die allgemeinen Systeme behandeln und so aus rein sozusagen systemen- 

 theoretischer Methode — ohne Anwendung der Gruppentheorie — zu einer Normalform gelangen könnte 

 die die Scheffers-Molien-Hawkes'sche als Spezialfall enthielte (vgl. Hawkes, Math. Ann., 60. Bd., 1905, 

 und Molien, ebenda Bd. 41, 1891). Die Systementheorie wäre dann als selbstständiger Zweig der 

 Mathematik begründet und man würde manche Sätze, die sich in den Zahlensystemen leicht beweisen 

 lassen, in die Theorie der Gruppen von Transformationen übertragen können und den umgekehrten Weg, 

 als den bis jetzt eingeschlagenen, befolgen. 



In jedem nullpotenten System existiert wenigstens eine mit allen anderen Zahlen nullfaktoriale 

 Zahl. Nehmen wir die größte mögliche Anzahl unabhängiger solcher Zahlen als erste Einheiten und 

 bezeichnen wir die Gesamtheit dieser Einheiten durch g oder G . Nun nehmen wir eine größte Anzahl 

 unabhängiger Zahlen, die in ihren Produkten nur die Einheiten von G enthalten, als neue Einheilen. Diese 

 mögen in ihrer Gesamtheit mit g x bezeichnet werden, g und g 1 zusammen mit G v Weiter nehmen wir als neue 

 Einheiten die unabhängigen Zahlen, die in ihren Produkten nur die Einheiten von G 1 enthalten, und nennen 

 sie g 2 , alle bis jetzt genommenen Einheiten mögen G 2 bilden. Und so fahren wir fort, bis wir alle Ein- 

 heiten erschöpft haben, und das muß nach dem Scheffers'schen Beweise für Nichtquaternionsysteme ein- 

 mal zutreffen. Eine Zahl aug^ oder aus Gk heißt eine lineare Form der Einheiten von g k oder Gk allein. Die 

 letzte Gruppe sei Gg—\. 



Die Eigenschaft einer Zahl, zur Gruppe G zu gehören, ist charakteristisch und additiv. Haben wir 

 also zwei äquivalente Systeme nach obiger Weise geordnet, so können sich die Einheiten der beiden 

 ersten Gruppen nur untereinander transformieren. Es ist folglich die Eigenschaft zu Gj zu gehören 

 charakteristisch und additiv — die obige Anordnung des Systems vorausgesetzt, denn sonst hätten diese 

 Bezeichnungen keinen Sinn. Es transformieren sich die Einheiten von G 1 auch nur untereinander. Nun 

 gehören die Einheiten von g 1 zu G : und nicht zu G , folglich, da beide Eigenschaften charakteristisch und 

 additiv sind, ist die Eigenschaft, in^ vorzukommen, charakteristisch, braucht aber nicht additiv zu sein. 

 Und so schließen wir weiter fort für alle anderen Gruppen. Die Anzahl der in den Gruppen vorkommen- 

 den Zahlen sind Charakteristikades Systems. Bilden wir also die Determinante der Transformation zweier 

 so geordneter äquivalenter Systeme ineinander, so schaut sie folgendermaßen aus: 



Fig. 1. 



K 











D 



i 









\l 



wo D k die Determinante der Koeffizienten der Einheiten von g k in den Einheiten von gk des zweiten 

 Systems bedeutet und die gestrichene Fläche mit lauten besetzt ist. Da die ganze Determinante in das 

 Produkt dieser Unterdeterminanten Du zerfällt, kann keine dieser D verschwinden. 



Man kann diese Normalform des Systems noch weiter spezialisieren: Betrachtet man in den 

 Produkten der Zahlen von Gk mit irgendeiner Zahl des Systems nur den Teil, der Einheiten aus gk—\ 

 enthält, so ist es möglich, daß der Rang der so erhaltenen linearen Formen der Einheiten von g k -i kleiner 



