Irreduzible komplexe Zahlensysteme. 273 



ist als die Anzahl der Einheiten der Gruppe; man braucht zur Ermittlung dieses Ranges offenbar nur die 

 Produkte einer beliebigen Einheit mit einer Einheit aus g k zu betrachten. Wir können nun als erste 

 Einheit von g k ^\ die unabhängigen Zahlen wählen, die in den Produkten der Einheiten von g k vorkommen., 

 und sie kurz die vorkommenden Einheiten von g k _\ nennen. Die Eigenschaft für eine Einheit aus 

 gk—\ in den Produkten von g k — abgesehen von Zahlen von G k —2 — vorzukommen, ist charakteristisch; 

 es ist folglich die Anzahl der vorkommenden Zahlen einer jeden Gruppe eine Charakteristik des Systems 

 und diese Zahlen können sich nur untereinander transformieren. Die zugehörigen Unterdeterminanten 

 der Transformationsdeterminante können also, wie oben die Determinanten D k , nicht verschwinden. Die 

 anderen Einheiten von g k —\ können sich untereinander und mit den vorkommenden transformieren. Fangen 

 wir diese Einteilung der Einheiten mit der vorletzten Gruppe an, so kommen die vorkommenden Zahlen 

 wenigstens in einem Produkte der nächsten Gruppe vor. 



Nun kann man weiter als erste Einheiten von g k ~\ diejenigen wählen, die — abgesehen von Zahlen 

 von Gk—2 — in den Produkten von drei Zahlen vorkommen, deren wenigstens eine zu g k +i gehört. So 

 könnte man dieses Verfahren weiter und weiter führen; für unsere Zwecke genügt aber die erste Form. 

 Nur machen wir folgende Bemerkung: Nennen wir g k> i, g k>2 , gk,g~k die Einheiten aus g k , die nicht vor- 

 kommen, die nur in Produkten von zwei Zahlen usf. von g—k Zahlen vorkommen, so muß g k ,g—k wenigstens 

 eine Einheit enthalten, da wenigstens ein Produkt aus zwei Einheiten aus gg-\ eine Einheit aus gg—2 gibt, 

 diese, mit wenigstens einer Einheit multipliziert, eine Einheit aus gg_% gibt, und so fort; Produkte von 

 mehr als g — k Einheiten können nicht eine Zahl aus g k ergeben, da jede Multiplikation den Index der 

 Gruppe, der die Zahl angehört, wenigstens um eins erniedrigt. Weiter folgt, daß das Produkt aus zwei 



x_a ist; unter 

 einer Gruppe mit negativem Index ist zu verstehen. Speziell ergibt sich daß jedes Produkt aus g+ 1 

 Zahlen des Systems verschwindet, aber nicht alle Produkte aus g Zahlen. Wenn wir die kleinste Anzahl 

 Faktoren, für welche noch jedes Produkt in einem nullpotenten Systeme verschwindet, die Ordnung des 

 Systems nennen, so können wir sagen: 



SATZ IV. Die Ordnung ist eine Charakteristik des Systems und ist gleich der Anzahl der Gruppen 

 mehr 1. 



Sei d der Grad des Systems, so folgt: 



SATZ V. Die Ordnung ist größer oder gleich dem Grade. Notwendig und hinreichend, damit sie 

 gleich sei, ist das Verschwinden aller Summen von der Form Se a ep...e 6 , wo'a, ß...s alle Permutationen irgend 

 eines Komplexes von d der Zahlen 1, 2,...n durchläuft, und das Nichtver schwinden wenigstens einer 

 solchen Summe für einen Komplex von d — 1 Zahlen. 



Der erste Teil ist an sich klar, weil die Potenzen auch Produkte sind. Es ist aber 



n 



x = S x t e t 



i= 1 



x d = £ x a x$ . . . x s e a gß . . . e Si 



wo a, ß, . . . s alle Variationen der Zahlen 1, 2,. . .u vom Grade d durchlaufen. Fassen wir alle Permutationen 

 desselben Komplexes zusammen, so erhalten wir: x a x$. .x, S e a e$...e B + x a -x$>...x e i'Ze a >ep...e s ' +. . .Sind 

 alle Summen gleich 0, so ist auch x d = 0, ist aber eine oder mehrere Summe nicht 0, so erhalten wir 

 nach Ausführung der Produkte wenigstens eine Gleichung deren linke Seite nicht identisch verschwindet, 

 der Form : 



c.x'^x'p ...+c 2 x'^xp\. . + .... = (x% 



wo (x d ) a der Koeffizient von e a in x d ist. Also verschwindet x d nicht identisch. 



SATZ VI. Enthält ein System eine Gruppe — von der ersten abgesehen — mit nur einer vorkommen- 

 den Einheit oder enthält die letzte Gruppe nur eine Zahl, so sind Ordnung und Grad gleich. 



