274 Dr. Guido Voghera, 



Für den zweiten Fall ist der Satz selbstverständlich, weil cf t ^zO, da dieses das einzige Produkt aus 

 g Zahlen ist, das nicht verschwinden muß. Ist hingegen die Gruppe mit nur einer vorkommenden Einheit 

 eine frühere, so betrachten wir ein Produkt aus g Zahlen, das nicht verschwindet: e a e$ e T . . .e e e^ e n . . .e v . 

 Sei die erwähnte Gruppe gi. Das Produkt von g—l aufeinanderfolgenden Zahlen des Produktes muß eine 

 Zahl aus g t geben und diese Zahl kann nur die vorkommende Einheit sein, natürlich nur bis auf Einheiten 

 der vorhergehenden Gruppen. Reichen die ersten g— /Zahlen bis e,, so kann man e a e^...e B durch e^ e^...e ; 

 ersetzen — von konstanten Faktoren abgesehen — und dann immer fort und fort andere Einheiten des 

 Produktes durch e a ersetzen, bis man das Produkt auf die Form e$ gebracht hat, womit gezeigt ist, daß 

 e& nicht verschwindet. 



Es folgt aus diesem Satze, daß für n ^ 2 + (d — 2) 2, d—g+\ sein muß; denn angenommen 

 d < g + 1, so wäre g— 2^d—2, also n ^ 2 (g — 2) + 2 und, da es g Gruppen gibt, so würden wenigstens 

 zwei nur eine Einheit enthalten und das würde dem vorigen Satze widersprechen. Solange also 

 «5^ 2d — 2 oder d~2iJL +2, ist der Grad gleich der Ordnung, das heißt, die Anzahl der Gruppen gleich 

 d — 1. Dies gilt also für d — 2 nur bis n — 2, wie von dem Scheffers'schen Beweise für Nichtquaternion- 

 systeme vom Grade 2 bestätigt wird. Für d z=. 3 gilt es bis'« =:4, wie man aus den Scheffers'schen Tafeln 

 für 4 und 5 Einheiten sehen kann; für d=z 4 bis n = 6 usf. 



Für u = 5 und d = 3 kann die Anzahl der Gruppen 3 oder 2 sein, 4 kann sie nicht sein, denn das 

 wäre ein Widerspruch mit Satz VI, da wenigstens 2 Gruppen eine Einheit enthalten würden. d = 3 kann 

 nur dann sein, wenn g eine Einheit,^ 2, g 2 2 Einheiten enthält. Da alle Einheiten vorkommen müssen, 

 kann das System, das man nach Verkürzung um g erhält, nur eines der Scheffers'schen Systeme V 1& bis 

 V 19 sein. Diese Betrachtung hat aber für uns kein besonderes Interesse, da wir die Teilung nach der 

 Gruppenanzahl, also nach der Ordnung, nicht nach dem Grade machen werden. Bei der Vergleichung mit 

 den von Starkweather erhaltenen Systemen werden wir noch darauf zurückkommen. 



SATZ VII. Sind zwei Nichtquaternionsysteme in der Scheffers'schen Form geschrieben und kommen 

 in beiden als erste k Einheiten alle unabhängigen Zahlen, die eine oder mehrere charakteristische Eigen- 

 schaften besitzen, vor, so sind die beiden um diese ersten k Einheiten verkürzten Systeme auch assoziativ 

 und äquivalent. 



Wir nennen die ersten k Einheiten des ersten (beziehungsweise des zweiten) Systemes £" (beziehungs- 

 weise g), die übrigen Einheiten des ersten und zweiten Systemes G und G; in der Determinante der 

 Transformation, die die Einheiten des ersten Systems durch die des zweiten ausdrückt, kann nach einer 

 früheren Betrachtung die von den Koeffizienten der Einheiten von G in den Ausdrücken für die Ein- 

 heiten von G gebildete Unterdeterminante nicht verschwinden, ihre Elemente geben also eine lineare 

 Transformation zwischen G und G. Betrachten wir nun ein Produkt zweier transformierten Einheiten 

 e~i e k . Es besteht aus Produkten, die wenigstens eine Einheit von g enthalten, und aus Produkten von 

 zwei Einheiten von G. Nur diese können Einheiten von G, also von G geben. Für den Teil des zweiten 

 Systemes, der G enthält, ist also g und g, vollkommen irrelevant; es ist folglich der Satz bewiesen. 



Ich schließe nun diesen Paragraphen, und gehe zum zweiten über. Ich bemerke aber schon hier, daß 

 ich eine Zahl eines Systems einzig nennen werde, wenn sie eine für sie allein charakteristische Eigen- 

 schaft hat, und unter einem einzigen Systeme ein solches verstehen werde, das ein für dasselbe 

 charakteristische Merkmal besitzt. 



