§ 2. Aufstellung der einzelnen Systeme. 



Die Methode, die ich zur Aufstellung benützen werde, ist vorzugsweise analytisch. Ich versuche 

 durch die Charakteristika der Systeme so viele Einteilungen als möglich zu erzielen, derart, daß die Systeme 

 der verschiedenen Kategorien gewiß nicht äquivalent sein können. Dann suche ich die allgemeinste 

 Transformation, durch die zwei Systeme derselben Kategorie ineinander übergehen können, und versuche 

 durch andere Charakteristika oder durch Anwendung von Satz VII oder, wenn das nicht möglich ist, durch 

 die allgemeine Diskussion der Transformation die Einteilung so weit fortzusetzen, daß das System durch 

 alle Transformationen die noch erlaubt sind, damit es seine Eigenschaften behält, nur in sich selbst über- 

 gehe. Dann ist die Einteilung fertig. Diese Methode hat vor der Starkweather'schen den Vorteil, daß sich 

 sofort alle verschiedenen Systeme ohne Anwendung der außerordentlich mühsamen Äquivalenzversuche 

 ergeben, und die Überlegenheit vor den anderen läßt sich daraus ersehen, daß sich mit ihrer Hilfe die 

 Scheffers'schen Systeme fast ohne Mühe niederschreiben lassen, die Starkweather'schen mit ziemlich 

 großer Leichtigkeit berechnet werden können und endlich auch der bei weitem kompliziertere Fall der 

 nullpotenten Systeme in 5 Einheiten vom Grade 3 sich vollständig erledigen läßt. 



i. Systeme der Ordnung 3. 



Kommen eine oder mehrere Einheiten von g nicht vor, so kann man sie weglassen und die ver- 

 kürzten Systeme sind dann und nur dann gleich, wenn die vorigen gleich waren, da eine solche Einheit 

 weder auf die Produkte noch auf die Transformationen einen Einfluß haben kann. Es reduziert sich also 

 der Fall auf die Scheffers'schen Systeme, die wir später kurz behandeln werden. Wir können also vor- 

 aussetzen, daß alle Einheiten vorkommen. Wir betrachten zuerst folgenden Fall: 



1. g enthält eine Einheit, g x vier Einheiten. 



Betrachten wir den allgemeinen Fall, daß g 1 Einheit, g x n — 1 Einheiten enthält. Der Koeffizient 

 von e x im Produkte ß,- + i e k+ \ sei a- lk . Die Determinante der a^ sei D. Bekanntlich läßt sich jede lineare 

 Transformation aus einer endlichen Anzahl einfacherer Transformationen zusammensetzen, und zwar 

 aus Transformationen der Form e 2 = e 2 + e 3 , ef=z e^ i = 3, ...11, aus Multiplikationen der Form 

 Ci=a; Ci t i — 2.. . .n; und aus Permutationen der Einheiten. Die ersten bewirken in der Determinante 

 eine Addition der zweiten zur ersten Zeile und der zweiten zur ersten Kolonne, die Permutation ver- 

 schiebt gleichzeitig Zeilen und Kolonnen; diese Transformationen lassen also die Determinante unver- 

 ändert. Die Multiplikationen multiplizieren die Determinante mit dem Quadrate des Produktes aller a. Die 

 Eigenschaft, daß D=0, ist also eine Charakteristik des Systems. Schließen wir diesen Fall aus und 

 suchen wir die Bedingung, daß eine Zahl existiert, für welche xa—a.ax sei (crz^zo, konstant). Es muß 



n 11 



xi S a k e t e k — a x t S a k e k e h 



ft=2 fc=2 



also 



M— 1 



S a k+1 (a ik — aa,-j) = 



sein, also \a ik — aa kl \ =rD(a) = 0; und die Bedingung ist notwendig und hinreichend. Ist D=D(0) = 0, 



so ist ein a = 0. Ist aber Dz^zO, so ist D (a) = ( — 1) a D ( — 1; wenn also a eine Lösung ist, so ist auch 



x »— 1 k—\ 



— eine. Aber D (a) = ( — 1) a D (0) + . . . + D (0) ; es existieren also n — 1 Wurzeln und die Gleichung 



ist reziprok; diese a sind Charakteristika des Systems. Ist n = 2m, so ist wenigstens ein a=l, wie schon 

 Scheffers für n=4 bewiesen hat. Für D~0 müssen zwei verschiedene Zahlen a und a' existieren, so daß 



