276 Dr. Guido Voghera, 



xa = und a'x-=0, denn wäre a = a', so wäre a eine zweite nullfaktoriale Zahl. Nun betrachten wir den 

 Fall ;zzz5 und nehmen wir zuerst an, daß alle ar^dr 1. Nehmen wir eine von diesen Zahlen als zweite 

 Einheit, so erhalten wir für azzX das System in der Form: 



e x 



ke x a 22 e 1 a 23 e x a 2i e x 



(J a 32 e t a 33 <? t a :u e x 



a i2 e x a 4S e x a ii e v 



Die Gruppe g ist hier und in den folgenden Systemen weggelassen. 



Durch e 4 zz e i -+- xe 2 ,x = — — kann man kä 2S =.ä S2 , Xz^zk, machen. Durch Transformation von 



k— X 



e i und e h kann man das Untersystem in eine der 4 Formen reduzieren: 



I II III IV 



e 1 e v 



Cj Xe 1 — e 1 e x 



da jedes System für ^zz3 auch eine Zahl von der obigen Eigenschaft besitzen muß und überall, ausge- 

 nommen bei IV, das Quadrat der zweiten Einheit zu reduziert werden kann. Diese vier sind folglich alle 

 möglichen Systeme in 3 Einheiten mit nur einer vorkommenden Einheit der ersten Gruppe. Für unseren 

 Zweck können wir aber nur III für Xrjr dz 1 brauchen, denn sonst würden wir durch Wahl von k zz dz 1 

 eine kommutative oder eine alternante Zahl bekommen. Es nimmt also das allgemeinste System ohne 

 kommutative und alternante Zahlen die Form an: 







e l 











\c x 



2 2 1 



^23 e i 



«24^1 







a 32 e x 







e i 







ü i2 c x 



|xq 







Da X=j= — 1, können wir durch geeignete Wahl von x in e s zz e 3 + xe 2 , a 22 zz machen. 

 Betrachten wir folgende Fälle: 



1. X, — , |jl, — verschieden; da bekommen wir: 

 X jx 







c l 











\e 1 











X, |x zjz d= 1 















4=0 











p.c. 







weil man zuerst durch e 4 zz c 4 + xe 2 a 23 = a 32 machen kann und dann durch c 3 zz e 3 + y c h beide zu 0. 



2. X zz jjlzJz — zz — , da hat man entweder a 23 =}z X a 32 oder nicht. Man bekommt also die zwei Formen : 

 X [x 



a) 







e i 















Xe 1 







e l 







Xzjzdz 1 









e i 







e l 



4=0 













Xßj 









ß) 



c i 











\e 1 



























e, 



und * Xzfc+1,0. 



e x ^ ■ ' 



\e l 

 Im Falle 2 existieren keine anderen Lösungen von D (a) zz als X und — . Folglich sind 1 und 2 



A 



verschieden. Bei 2 a) verschwindet eine von den Unterdeterminanten von Z) (a) für a zz X nicht, folglich 

 existiert nur eine Zahl der Eigenschaft a zz X, während bei ß) unendlich viele existieren. 



