Irreduzible komplexe Zahlensysteme. 277 



Jetzt betrachten wir den Fall, daß D = sei. Kommt in einem System in e,- e k der allgemeine 

 Parameter X bei e^ vor, so wollen wir ihn, falls bei e k e t e v . mit dem Koeffizienten 1 vorkommt, auch den 



Wert — annehmen lassen und unter dem System, wo im Produkte e t e k e„ mit dem Koeffizienten — vor- 

 



kommt, verstehen wir dasselbe System, wo in e k e ( e^ nicht vorkommt, und in ei e k e^ mit dem Koeffi- 

 zienten 1 erscheint. Mit dieser Definition kann man ganz dieselben Betrachtungen wie früher auch auf 

 den Fall D — oder a = anwenden. 



Lassen wir eine Einheit von g x weg, so bleibt das System assoziativ. Es folgt daraus, daß ein 

 System der betrachteten Art in Im — 1 Einheiten nur eine gerade Anzahl kommutative Zahlen besitzen 

 kann, da man, wenn man um eine verkürzt, ein System derselben Form in 'Im Einheiten erhält. Betrachten 

 wir nun den Fall, daß 2 kommutative Einheiten vorkommen, so kann ihr Untersystem: 



1. 2. 3. e x 



e x e x 



sein und die dreiFälle sind gewiß verschieden, da die Eigenschaft des Kommutativseins charakteristisch ist. 



Man bekommt also 



1. e x 



e x 



e x e x 



e x —e x 



allein, denn andere kommutative und nullfaktoriale Zahlen dürfen nicht vorkommen. 

 2. gibt zuerst 











e l 











«1 











e l 











e l 







- 



- e l 



fa. 



es sind aber in dieser Form e v e 2 und also auch e 6 einzig, folglich haben wir zwei verschiedene Fälle, 

 je nachdem ß gleich oder verschieden ist. Im letzteren Falle können wir es 1 machen, und da 

 haben wir 



3. gibt entweder 





a) 



e x 











e 1 











e x 



e i 







—e x 



e i 







e i 









e l 











\z 











e x 













\e, 





ß) e x 





e t 





e, e x 





0—e x 0. 





ß) 0^0 







e x 











e i 



—e x 



e i 



1 oder 



da das Untersystem der zwei letzten irgendein nicht kommutatives System sein kann. 

 Sind alle Zahlen kommutativ, so haben wir: 



e l 



















e l 



















e l 



















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Denkschr. d. mathem.-naturw. Kl. Bd. LXXXIV. 3g 



