Irreduzible komplexe Zahlensysteme. 279 



2. G enthält 2 Einheiten,^ 3 Einheiten. 



Die allgemeinste Form eines solchen Systems ist — nullpotente Einheiten weggelassen — 



a U e i + & 11 e 2 



ö 12 ß l "+" ^12 ^2 



a i3 ^1 + ^13 ß 2 



^21 ^1 "*~ 21 ^2 



ö 22 ß l ~^~ ^22 ^2 



Ä 23 ^1 "*" ^23 ^2 



^1 a i ^1 "J" a 2 ^2' 



e 2 z 



^23 = a 23 a i + ^23 ßl 



a 32 



^23 — ß 23 a 2 "+" ^23 ? J 2 



^32 



ö 31 g l + ^31 ^2 ö 32 ß l "+" ^32 e 2 ^33 e i + ^33 <V 



Es gibt wenigstens eine Zahl, die in e v und eine, die in e 2 kommutativ ist. Nun unterscheiden wir: 



I. Es gibt eine Zahl, die sowohl in e t als in e 2 kommutativ ist; dann werde sie als e 3 genommen 

 und es wird: a 12 = a 2V b 12 = b 2V a 13 = a 3V b 13 — b 3V 



II. Es gibt keine solche Zahl. Dann sei e 3 kommutativ in e v e 4 in e 2 , also a 23 dpa 32 , b 13 dpb 31 und 



a i2 Ägi? ^21 — ^12' ^13 — ^31' ^23 — ' ^32' 



I hat zwei Unterfälle: Entweder ist das ganze System kommutativ oder nicht. Im letzten Falle 

 nehmen wir die Transformation vor: 



e 2 = ß t e t + ß 2 e 2 

 wir erhalten so: 



= ^32 a i + & 32 ßl 



zzz <x 32 <y. 2 + b 32 ß 2 



man kann also immer a. x und $ t so bestimmen, daß ä 23 = ä 32 , oder a 2 und ß 2 so, daß & 23 = b 32 werde 

 Was den Fall II betrifft, gilt auch die Umkehrung, das heißt, wenn a 23 — a 32 = a, b 13 — b 31 = b und a und 

 bz^iO sind, gibt es keine kommutative Zahl im System; denn die Bedingung dafür ist das -gleichzeitige 

 Bestehen der Gleichungen: 



a 1 + a 2 + a 3 = a x + a 2 + b a 3 = 



a t + a a 2 + a 3 =. a t + a 2 + a 3 r= 



a x + c 2 — <z a 3 = — & a ± + a 2 + a 3 z= 



Also a x r= a 2 = a 3 = 0. Auch ist es unmöglich, daß die ganze Tafel kommutativ in e 1 (e 2 ) sei, denn 

 sonst könnte man eine Zahl kommutativ in beiden finden. Wir haben also drei untereinander verschiedene 

 Fälle: la) kommutative Systeme cLfa—au, hk = Z>ki'> 1^ eine Zahl ist kommutativ a 2Z dpa 32 oder 

 Z> 23 dp b, 2 oder auch beide zusammen ; II. keine Zahl ist kommutativ a 23 dp a 32 und b 13 zfr b 31 . 



Fall I a). Ist die Determinante der a oder der b = so, gibt es nach einer schon gemachten Be- 

 trachtung wenigstens eine Zahl, deren Produkte e t oder e 2 nicht enthalten. Sonst nehmen wir 



e x = e 1 + a e 2 



e 2 — e 2 , 



und setzen die Determinante der e 2 gleich Null: |&$ + c/.au.\ = 0; das gibt zur Bestimmung von a eine 

 Gleichung 3. Grades: 



\&ik\ a 3 + + \b ik \ = 0; wir haben also 3 Werte von a, für welche eine Zahl in ihren Produkten 



nur e t — e x — ae 2 enthält. Wir unterscheiden also: a) Das System enthält nur eine Zahl, die in ihren 

 Produkten nur eine lineare Form der nullfaktorialen Einheit enthält, ß) Es existieren mehrere solche 

 Zahlen. — Unter a) kann diese Zahl zum Quadrat erhoben nur geben, denn sonst hätten wir die Form: 



e l 

 







und das Untersystem der zwei letzten würde wieder wenigstens eine solche Zahl enthalten. Es bleibt 

 also die einzige Möglichkeit: 



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