280 Dr. Guido Voghera, 



e x 



e x \e 2 \e 2 



X 2 e 2 X 3 e x + X 4 e 2 



Wäre X 2 = 0, so würde auch e b eine solche Zahl sein, also X 2 ^0 und es wird das System: 



e x 



e x e 2 



e 2 \ e x + \ e 2 . 

 Wäre X 4 z|=0, so könnte es zu 1 reduziert werden und dann würde e b + X 3 e 3 nur die lineare Form: 

 3 e x + e 2 enthalten. Es ist also nur 



e x 



«1 ^2 



e 2 e x 



möglich und das System genügt der Bedingung, denn ae 3 + ß e 4 + f e 5 , der Reihe nach mit e v e 4 , e h 

 multipliziert, gibt ß e v ae x + 7 e 2 , $e 2 + *(e 1 ; es muß also, damit in diesen Zahlen nur eine lineare Form 

 der e ± und e 2 vorkomme, ß = 7 = sein. 



Für den Fall ß) unterscheiden wir: Es gibt zwei Zahlen, die dieselbe Einheit enthalten, und 

 da bekommen wir als Untersystem, wenn wir berücksichtigen, daß keine andere nullpotente Einheit 

 existiert, nur 



also: 



In dem letzteren muß, damit die Produkte einer Zahl der Form ae 3 + ßß 4 H-7ß s eine einzige lineare 

 Form der nullfaktorialen Einheit enthalten, 7 = sein, da ja diese Produkte 7^, ßß 1; ae x +7C 2 sind; die 

 nullfaktoriale Einheit kann nur e x sein, während im ersten System auch e 2 als einzige lineare Form vor- 

 kommen konnte (bei e 5 ). Sind hingegen die in den Produkten unserer Zahlen enthaltenen nullfaktorialen 

 Zahlen alle verschieden, so ist entweder das Quadrat von allen gleich Null und da haben wir 



e x , 

 e 2 

 e x e 2 

 oder es ist nur ein Quadrat Null, also: 



e 2 oder kein Quadrat Null: e x 

 e x 



e 2 e x 



Die Zahlen mit einer nullfaktorialen Zahl sind im ersten System ae 3 + ß <? 4 , im zweiten e s , e 4 ; im 

 dritten e 3 , e v e b . Es folgt schon daraus und aus der Tatsache, daß alle im ersten Systeme vorkommenden 

 nullfaktorialen Einheiten (ae x + ß e 2 ) verschieden sind, wenn nicht 



«ißi 













e x 









e l 



e x 



e l 











e x 







e l 







e x 











e 2 



e x e 2 











e 2 











e x + e 2 



ist, daß alle betrachteten Systeme verschieden sind. 



= 



Betrachten wir nun Fall Ib). Die kommutative Einheit ist einzig; wir unterscheiden hier vier Fälle: 

 die Einheit enthält nur eine lineare Form oder zwei, und zwar ist das Quadrat Null oder zh 0. Wir 

 bekommen also: 



